Pourquoi les mathématiciens aiment-ils prouver le même résultat de différentes manières?
La concentration de nombres premiers, indiquée par des points jaunes sur cette spirale hexagonale d'entiers positifs, diminue avec la distance depuis le début de la droite numérique. Cette régularité maintes fois prouvée est décrite par le théorème sur la distribution des nombres premiers.
"Vous ne pouvez pas croire en Dieu, mais vous devez croire au Livre", a dit un jour le mathématicien hongrois Pal Erdos... Le Livre, qui n'existe qu'en théorie, contient les preuves les plus élégantes des théorèmes les plus importants. L'assertion d'Erds fait allusion à la motivation des mathématiciens à continuer à chercher de nouvelles preuves de théorèmes déjà prouvés. L'un de leurs favoris est le théorème sur la distribution des nombres premiers, tels qu'ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1. Et bien que les mathématiciens ne sachent pas si la preuve entrera dans le «Livre», deux adversaires se disputent la première place, prouvant que simultanément et indépendamment trouvé en 1896 par Jacques Hadamard et Charles Jean de La Vallée-Poussin .
Alors, que dit exactement ce théorème?
Le théorème des nombres premiers permet d'approximer le nombre de nombres premiers ne dépassant pas un nombre n donné. Cette valeur est appelée π (n), où π est la fonction de distribution des nombres premiers [ non liée au nombre π / env. trad.]. Par exemple, π (10) = 4 car il y a 4 nombres premiers jusqu'à 10 (2, 3, 5 et 7). De même, π (100) = 25, puisqu'il y a 25 nombres premiers parmi les 100 premiers nombres. Parmi les 1000 premiers nombres, il y a 168 nombres premiers, donc π (1000) = 168, et ainsi de suite. Notez que lorsque vous regardez les 10, 100 et 1000 premiers entiers, le pourcentage de nombres premiers qu'ils contiennent est passé de 40% à 25% et 16,8%, respectivement. Ces exemples suggèrent, et le théorème des nombres premiers confirme que la densité des nombres premiers ne dépassant pas un nombre donné diminue à mesure que ce nombre augmente.
Mais même si vous aviez une liste ordonnée d'entiers jusqu'à, disons, un billion, qui voudrait calculer manuellement π (1 000 000 000 000)? Le théorème des nombres premiers est un moyen d'économiser de l'énergie.
Il dit que π (n) est "asymptotiquement égal" à n / ln (n), où ln est le logarithme naturel. L'égalité asymptotique peut être considérée comme une égalité grossière, bien que ce ne soit pas entièrement vrai. Par exemple, estimons le nombre de nombres premiers ne dépassant pas un billion. Au lieu de compter les nombres premiers individuels pour calculer π (1,000,000,000,000), vous pouvez utiliser ce théorème et découvrir qu'il y a environ 1,000,000,000,000 / ln (1,000,000,000,000), ce qui équivaut à 36,191,206 825 lorsqu'il est arrondi à l'entier le plus proche. Et à partir de leur nombre réel, 37 607 912 018, cette estimation ne diffère que de 4%.
Avec l'égalité asymptotique, la précision s'améliore avec des nombres croissants substitués dans la formule. En fait, plus nous nous rapprochons de l'infini - qui n'est pas un nombre en soi, mais simplement quelque chose de plus que n'importe quel nombre - l'égalité asymptotique se rapproche de l'égalité réelle. Et bien que le nombre réel de nombres premiers soit toujours exprimé sous la forme d'un entier, la valeur de l'autre côté de l'égalité asymptotique, c'est-à-dire la fraction dans laquelle apparaît le logarithme naturel, peut prendre n'importe quelle valeur sur la ligne réelle. Cette connexion entre les nombres réels et entiers est pour le moins contre-intuitive.
Tout cela épate un peu l'esprit, même pour les mathématiciens. Et ce qui est le plus désagréable, l'énoncé du théorème sur la distribution des nombres premiers ne dit rien sur la raison pour laquelle une telle relation est valable.
«Le théorème n'a jamais été utile à lui seul. Tout est question de preuve », a déclaré Michael Bode , professeur de mathématiques à l’Université de technologie du Queensland en Australie.
Si les preuves originales d'Hadamard et de La Vallée-Poussin étaient élégantes, elles reposaient sur une analyse complexe - l'étude des fonctions des nombres complexes - que certains n'aiment pas, puisque le théorème lui-même n'a rien à voir avec les nombres complexes. Cependant, Godfrey Harold Hardy en 1921 a annoncé l'émergence de preuves non analytiques - les soi-disant. preuve élémentaire - le théorème sur la distribution des nombres premiers " extrêmement improbable ", et a déclaré que si quelqu'un le trouve, "ils devront réécrire la théorie."
Atle Selberget Erdös lui-même a relevé le défi et, en 1948, a publié chacun une nouvelle preuve élémentaire indépendante du théorème des nombres premiers en utilisant les propriétés des logarithmes. Cette preuve a incité d'autres mathématiciens à envisager des approches similaires pour les hypothèses de la théorie des nombres qui étaient auparavant considérées comme trop simples pour des énoncés aussi complexes. En conséquence, de nombreux résultats intéressants ont été obtenus, dont la preuve élémentaire de Helmut Meier en 1985 sur les inhomogénéités inattendues dans la distribution des nombres premiers.
"Le théorème des nombres premiers a beaucoup de questions non résolues", a déclaré Florian Richter , mathématicien à l'Université Northwestern qui a récemment publié une nouvelle preuve élémentairecette fameuse déclaration. Richter l'a trouvé en essayant de prouver les conséquences profondes du théorème des nombres premiers.
Au fil du temps, les théoriciens des nombres ont aidé à établir une culture dans laquelle les mathématiciens prouvent et re-prouvent des théorèmes non seulement pour tester des affirmations, mais aussi pour améliorer leurs compétences en matière de démonstration de théorèmes et leur compréhension des mathématiques utilisées.
Cela sort du cadre du théorème des nombres premiers. Paulo Ribenboim a rassemblé au moins 7 preuves de l' infini des nombres premiers. Stephen Kifovit et Terra Stamps ont identifié 20 éléments de preuve montrant que la série harmonique 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... ne converge pas vers un nombre fini, tandis que Kifovit en a ajouté 28 de plus... Bruce Ratner énumère plus de 371 preuves du théorème de Pythagore , y compris de grands exemples d'Euclide, de Leonardo da Vinci et du 20e président américain James Abram Garfield, alors membre du Congrès de l'Ohio.
L'habitude de rechercher des preuves en double est si ancrée dans la communauté que les mathématiciens peuvent pratiquement compter dessus. Tom Edgar et Yajun Anh ont noté que la loi quadratique de réciprocité , en plus de la preuve originale de Gauss de 1796, a 246 preuves supplémentaires . Ils ont tracé la quantité de preuves en fonction du temps et ont extrapolé que d'ici 2050, la 300e preuve de cette loi pouvait être attendue.
«J'aime les nouvelles preuves d'anciens théorèmes pour la même raison que j'aime les nouvelles routes et les détours qui mènent à des endroits que je connais», a déclaré Sofia Restad , étudiante diplômée de l'Université du Kansas. Ces nouvelles routes donnent aux mathématiciens une idée spatiale du lieu dans lequel leurs activités intellectuelles se déroulent.
Les mathématiciens peuvent ne jamais cesser de chercher de nouvelles voies plus claires pour prouver à la fois le théorème des nombres premiers et leurs autres théorèmes préférés. Si vous avez de la chance, certains d'entre eux seront même honorés d'être inclus dans le "Livre".