Trois mathématiciens ont obtenu une réponse à la question fondamentale sur les chemins droits sur un solide platonicien à 12 côtés
Malgré le fait que les mathématiciens ont déjà plus de 2000 ans [ et peut-être même plus / env. trad. ] analysent la structure de cinq polyèdres réguliers (solides platoniques) - tétraèdre, hexaèdre (cube), octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre - nous n'en savons toujours pas grand chose à leur sujet.
Et donc trois mathématiciens ont répondu à l'une des questions les plus fondamentales sur le dodécaèdre.
Disons que vous vous tenez sur l'un des sommets d'un polyèdre régulier. Y a-t-il un chemin direct le long duquel on peut revenir au point de départ sans passer par aucun des autres sommets? Pour quatre autres polyèdres réguliers constitués de carrés ou de triangles équilatéraux - tétraèdre, cube, octaèdre et icosaèdre - des mathématiciens ont récemment donnéréponse négative à cette question. Tout chemin rectiligne partant de l'un des sommets soit heurtera un autre sommet, soit s'enroulera pour toujours le long de la surface de la figure, sans jamais revenir au point de départ. Cependant, les mathématiciens ne savaient pas à quoi s'attendre d'un dodécaèdre composé de 12 pentagones.
Or Jadev Atreya , David Olicino et Patrick Hooper ont montré qu'il existe en effet un nombre infini de tels chemins sur le dodécaèdre. Leur article , publié en mai dans la revue Experimental Mathematics, montre que ces chemins peuvent naturellement être divisés en 31 familles.
Trouver une solution exigeait l'utilisation de la technologie moderne et la compilation d'algorithmes informatiques. «Il y a environ vingt ans, cette question était hors de portée; Il y a 10 ans, il aurait fallu un effort incroyable pour écrire tous les programmes nécessaires; et ce n'est qu'aujourd'hui que tous les facteurs sont réunis », a écrit Anton Zorich de l'Institut mathématique Jassi à Paris dans un courriel.
Ce projet a débuté en 2016, lorsqu'Atreya de l'Université de Washington et Olicino du Brooklyn College ont commencé à jouer avec un ensemble de formes plates qui se sont pliées en un polyèdre régulier. Lors de l'assemblage du polyèdre, Olicino s'est rendu compte que le matériau accumulé récemment sur la géométrie plane peut être utile pour comprendre les chemins droits sur le dodécaèdre. «Nous avons littéralement assemblé ces pièces à partir de pièces éparpillées», a déclaré Atreya. "La simple curiosité des chercheurs a coïncidé avec une nouvelle opportunité."
En collaboration avec Hooper du City College de New York, les chercheurs ont découvert comment classer tous les chemins droits qui sortent d'un coin et y entrent, en contournant d'autres coins.
Leur analyse est une «solution élégante», comme l'a dit Howard Mazur .de l'Université de Chicago. "C'est l'un de ces cas où je peux dire sans hésitation: Wow, pourquoi pas moi!"
Symétries cachées
Si les mathématiciens parlent de trajectoires rectilignes sur le dodécaèdre depuis plus d'un siècle, l'intérêt pour ce sujet s'est ravivé ces dernières années grâce aux nouvelles connaissances acquises dans le domaine des «surfaces de transfert». De telles surfaces sont formées en collant les côtés parallèles d'un polyèdre. Ils se sont avérés très utiles pour explorer un large éventail de sujets liés aux trajectoires droites suivant des formes avec des angles - des trajectoires de boules de billard aux questions de savoir si un seul rayon de lumière peut éclairer une pièce entière avec des murs en miroir.
L'idée de base dans toutes ces tâches est d'élargir la forme afin qu'il devienne plus facile d'étudier les chemins qui la suivent. Pour comprendre les trajectoires droites le long d'un polyèdre régulier, vous pouvez commencer par couper suffisamment d'arêtes pour qu'elles puissent être développées sur un plan, formant, comme le disent les mathématiciens, un réseau. L'un des réseaux pour un cube, par exemple, est une forme en «T», constituée de six carrés.
Un dodécaèdre en papier réalisé en 2018 par David Olicina et Jadev Atreya pour démontrer la capacité de diriger un chemin d'un sommet vers celui-ci sans en croiser d'autres.
Imaginez que nous ayons fait un balayage du dodécaèdre, et maintenant nous marchons le long dans une certaine direction. Tôt ou tard, nous tomberons sur un bord du filet, après quoi notre chemin sautera vers le pentagone adjacent (celui qui a été collé au pentagone actuel avant de couper notre dodécaèdre). Lors d'un saut, le chemin tourne simultanément d'un angle dont la valeur est divisible par 36 en degrés.
Pour éviter tous ces sauts et virages, lorsque nous rencontrons un bord, nous pourrions y coller une nouvelle copie pivotée du filet et continuer à marcher droit. Ensuite, nous ajouterons la redondance: nous aurons deux pentagones différents, désignant le pentagone du dodécaèdre original. Nous avons compliqué notre monde, mais nous avons simplifié notre chemin. Nous pouvons continuer à ajouter un nouveau réseau chaque fois que nous devons dépasser les frontières de notre monde.
Au moment où notre chemin passe à travers 10 filets, nous ferons pivoter notre maillage d'origine de tous les angles possibles divisibles par 36, et l'orientation du maillage suivant que nous ajouterons correspondra à celle avec laquelle nous avons commencé. Il s'avère que le 11ème réseau est obtenu à partir de l'original par un simple décalage - comme le disent les mathématiciens, par transfert. Au lieu de coller le 11ème maillage, nous pouvons simplement coller le bord du 10ème maillage sur le bord parallèle correspondant du maillage d'origine. Notre figure ne sera plus plate, mais les mathématiciens croient qu'elle "se souvient" de la géométrie plate de son incarnation précédente - ainsi, par exemple, les chemins sont considérés comme droits s'ils étaient droits sur une figure qui n'a pas encore été collée. Après avoir effectué tout le collage possible des arêtes parallèles correspondantes, nous obtenons ce que l'on appelle. surface de transfert.
Atréia a tatoué sa surface de transfert préférée, le double pentagone, sur sa main droite, la
surface résultante est une représentation hautement redondante du dodécaèdre, dans laquelle sont impliqués 10 copies de chaque pentagone. Et cela s'est avéré beaucoup plus complexe - il est collé sous la forme d'un beignet avec 81 trous. Cependant, cette forme complexe a permis aux trois chercheurs de comprendre la riche théorie des surfaces de transfert.
Face à une surface aussi gigantesque, les mathématiciens ont retroussé leurs manches - à la fois au sens figuré et au sens propre. Après avoir travaillé avec elle pendant plusieurs mois, ils se sont rendu compte que la surface du beignet de 81 trous formait une sur-présentation non seulement du dodécaèdre, mais aussi de l'une des surfaces de transfert les plus couramment étudiées. Il s'agit d'un double pentagone, qui est obtenu en collant deux pentagones le long d'un des bords, puis en collant tous les côtés parallèles pour faire un beignet avec deux trous et un grand ensemble de symétries.
De plus, cette figurine est tatouée sur le bras d'Atreya. «Je connaissais et aimais déjà ce double pentagone», a déclaré Atreya, qui s'est fait tatouer un an avant que lui et Olicino ne commencent à penser au dodécaèdre.
Étant donné que le double pentagone et le dodécaèdre sont des cousins géométriques, un degré élevé de symétrie du premier peut aider à comprendre la structure du second. «Il s'agit d'une formidable symétrie latente», a déclaré Alex Eskin de l'Université de Chicago (qui a conseillé Atreya sur sa thèse de doctorat il y a 15 ans). "Que le dodécaèdre ait un tel groupe de symétrie latente est tout à fait remarquable."
Jadev Atreya explique comment lui et ses collègues ont résolu le problème de longue date de la recherche de trajectoires droites sur le dodécaèdre.
La relation entre ces surfaces a permis aux chercheurs de tirer parti de l'algorithme d'analyse de surface de transfert hautement symétrique développé par Miriam Finster du Karlsruhe Institute of Technology. En adaptant son algorithme, les chercheurs ont pu trouver tous les chemins rectilignes sur le dodécaèdre qui sortent et reviennent à un sommet, et les classent en fonction des symétries cachées du dodécaèdre.
Atreya décrit cette analyse comme «l'un des projets les plus intéressants de toute ma carrière». Jadev dit qu'il est très important de jouer constamment avec des choses différentes.
Le nouveau résultat suggère que même les objets que les gens étudient depuis des milliers d'années, il peut y avoir des secrets cachés, a déclaré Eskin. "Je pense que même pour ces trois mathématiciens, c'était une surprise qu'ils puissent dire quelque chose de nouveau sur le dodécaèdre."