🙎🏿 💝 👻 Représentation géométrique de la courbure de l'espace dans la métrique de Schwarzschild 👩‍💻 👩‍🎤 ✌🏻

... ou deux plus deux égale quatre.

Pour comprendre l'article, un cours de mathématiques à l'école suffit.

La forme du facteur dans la métrique de Schwarzschild me hante depuis longtemps avec sa duplicité exquise et j'ai décidé de consacrer du temps à trouver des moyens de la transformer. La métrique de Schwarzschild elle-même est obtenue à la suite de la résolution de la relativité générale pour le cas du vide (le tenseur énergie-impulsion est nul):

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Il décrit le continuum espace-temps au voisinage d'un objet massif compact arbitraire. Compact, ce qui signifie que les écarts de forme sont insignifiants par rapport à la masse. Autrement dit, rond et serré. Habituellement, un trou noir est utilisé ici comme exemple. Pour une raison quelconque, personne ne donne d'exemples d'objets non compacts. Un bâton de mousse hermétique dans un espace ouvert à une distance infinie d'objets massifs, comme un objet non compact. Le cheval cube au loin, à partir duquel vous pouvez également voir la tristesse dans ses yeux.

À travers le volume de la 3 sphère

Nous allons faire un remplacement:

M = \frac{E}{c^{2}}

$M=\frac{E}{c^2}$

Ensuite, la métrique deviendra comme ceci:

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Le remplacement n'était nécessaire que pour attirer l'attention sur le quatrième degré de la vitesse de la lumière, car tous les nombres dans les formules sont importants. Ceci est démontré par toute l'histoire de la physique - toute formule obtenue empiriquement au fil du temps reçoit une base théorique expliquant la signification de toutes les formes mathématiques qui y sont contenues.

Habituellement, dans la représentation de cette métrique, la partie associée aux constantes physiques et la masse du corps qui crée le champ est exprimée en termes de rayon de Schwarzschild:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

car la métrique a une singularité à ce stade. Ici, le temps s'arrête littéralement.

Voici à quoi ressemble toute la métrique:

d s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Mais dans la continuité du raisonnement sur l'essence physique des phénomènes, ces deux:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

doit également être compris. Par conséquent, nous le représentons comme ceci:

u = \frac{G E}{c^{4}}

$u = \frac{GE}{c^4}$

C'est juste la moitié du rayon gravitationnel

r_{s}

$r_s$ , et sa dimension est la même. On a:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = 1 - 2 \frac{u}{r}

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Il se suggère:

= (1 - 2 \frac{u}{r} + \frac{u^{2}}{r^{2}}) - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(1 - \frac{u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(\frac{r - u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} =

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

= \frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} (1)

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Pas mal déjà. Dessinons. Imaginer

r = O B

$r = OB$ segment final,

u = O A

$u = OA$ - une partie de celui-ci, comme le montre la figure ci-dessous. Il est évident que

(r - u) = A B

$(r-u) = AB$ ...

Il est curieux, en passant, lequel de

r_{s} = 2 u

$r_s = 2u$ il s'ensuit que le point

A

$A$ se trouve derrière (sous) l'horizon des événements de l'objet énergétique

E

$E$ ... C'est si facile à trouver, mais nous ne pouvons pas.

Nous allons maintenant montrer qu'une relation de la forme

(1)

$(1)$ sera effectuée pour tous les points qui ont une place géométrique sur la perpendiculaire à

O B

$OB$ à ce point

A

$A$ :

\frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} = \frac{((r - u)^{2} + a^{2}) - (u^{2} + a^{2})}{r^{2}} = \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} (2)

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

pour toute

b = C B

$b = CB$ et

d = O C

$d = OC$ ...

En termes simples, la différence des carrés

(r - u)^{2} - u^{2}

$(r-u)^2 - u^2$ équivaut à la différence de toutes les quantités dont les projections sur

O B

$OB$ sont

A B

$AB$ et

O A

$OA$ respectivement, à condition que le point

C

$C$ ils ont en commun.

De plus, supposons que

u = u (E)

$u = u(E)$ et

(r - u)

$(r-u)$ à l'inverse, des projections

r = O B

$r = OB$ sur certains axes, c'est-à-dire la somme pythagoricienne de deux quantités, dans leur forme originelle, perpendiculaires l'une à l'autre. En traduisant cela en une exigence, considérez le cas

∠ O C B = π / 2

$\angle{OCB} = \pi/2$ pour lequel c'est vrai:

b^{2} = r^{2} - d^{2} \to (2) \to \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} = 1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} (3)

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Nous finaliserons

(3)

$(3)$ similaire à l'itération initiale:

1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} = (1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{d^{4}}{r^{4}}) - \frac{d^{4}}{r^{4}} = \frac{(r^{2} - d^{2})^{2} - d^{4}}{r^{4}} =

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

= \frac{b^{4} - d^{4}}{{\sqrt{b^{2} + d^{2}}}^{4}} = \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} (4)

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Voici le quatrième degré. Formule pour le volume d'une 3 sphères:

V = \frac{π^{2} \cdot R^{4}}{2}

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Cela je veux dire que si vous multipliez et divisez

(4)

$(4)$ sur

π^{2} / 2

$\pi^2/2$ :

\frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{V_{b} - V_{d}}{V_{r}} (5)

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

puis le facteur de la métrique de Schwarzschild se transforme en la différence entre les volumes de deux 3 sphères construites autour de deux projections radiales d'un point par rapport au centre du champ, lié au volume de la 3 sphère formée par la distance totale entre le point et le centre du champ.

Compte tenu du fait que le rayon total est donné par des projections, toute cette construction est très succinctement fixée par deux paramètres, dont l'un est lié à l'énergie et le second ne l'est pas. Il y a exactement deux coordonnées.

conclusions

Les conséquences remarquables d'une telle représentation sont:

1. A partir de la forme du multiplicateur, on voit que le comportement du photon limite la zone visible de l'espace-temps à cinq dimensions. En dehors de cela, vous pouvez cacher quelque chose de gravitant, mais invisible.

2. La présence de la deuxième coordonnée cachée élimine le paradoxe du temps zéro.

3. Puisque la courbure de l'espace autour d'un corps massif peut toujours être décomposée en deux composantes, dont l'une est associée à l'énergie du corps, et la seconde exclusivement à l'espace, alors l'étape suivante consiste à résoudre les équations de la relativité générale pour le cas du vide de l'espace-temps à cinq dimensions. Plus d'informations à ce sujet dans le prochain article.

Prime. Dans le coin

Évidemment, il est possible d'exprimer la signification du champ en un point à travers un angle plat, qui exprime la déviation de la trajectoire du mouvement par rapport à l'espace plat (en l'absence de champs gravitationnels).

Exprimons les quantités

b

$b$ et

d

$d$ dans le coin

α = ∠ O B C

$\alpha = \angle{OBC}$ :

b = r \cdot \cos α; d = r \cdot \sin α

$b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ ... Appelons cela l' angle de courbure de la trajectoire. Ensuite, le facteur peut être exprimé de manière très différente:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α =

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

= \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α (6)

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

J'aime particulièrement la version tangente.

Remplacer dans l'intervalle d'origine:

d s^{2} = - \cos 2 α \cdot c^{2} d t^{2} + \cos^{- 1} 2 α \cdot d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Tout, comme il se doit, se transforme en une métrique Minkowski plate pour

α = 0

$\alpha = 0$ ...

Il devrait certainement y en avoir un cinquième ...

A suivre.

Représentation géométrique de la courbure de l'espace dans la métrique de Schwarzschild

À travers le volume de la 3 sphère

conclusions

Prime. Dans le coin

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