Hourra!
L'équipe d'écoliers russes a pris la deuxième place!
Les médailles d'or ont été remportées par Danila Demin de Sotchi (36 points) et Alexey Lvov de Novosibirsk (36 points). L'argent a été pris par Ivan Gaidai-Turlov (25), Anton Sadovnichy (29) de Moscou, Danil Sibgatullin (29) de Moscou et Kazan, et Maxim Turevsky (30) de Saint-Pétersbourg.
Le vainqueur absolu de l'Olympiade dans la compétition individuelle était un écolier de Chine Jinmin Li, qui a marqué le maximum de 42 points.
J'ai récemment publié les textes des problèmes et certains d'entre eux ont été résolus par les lecteurs de Habr dans les commentaires.
Sous la coupe se trouvent des statistiques intéressantes sur les résultats de l'Olympiade .
Nos camarades!
Résultats de l'équipe
La Chine montre la voie. L'écart entre la Russie et les États-Unis est de 2 points.
Il est intéressant de noter que les États-Unis ont un chef avec un nom de famille asiatique prononcé et un député. chef - avec un nom et un prénom ukrainiens prononcés.
Résultats individuels
Participants chinois (1, 2, 3) par une large marge. Les représentants de nombreux pays ont obtenu 36 points (4e place).
Le champion absolu Jinmin Li de Chongqing. Le respect.
Tâches
Problème 1
A l'intérieur du quadrilatère convexe ABCD, il y a un point P tel que les égalités
∠PAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC sont maintenues.
Montrer que les trois droites suivantes se coupent en un point: les bissectrices internes des angles ∠ADP et ∠PCB et le milieu perpendiculaire au segment AB.
Problème 2
Étant donné les nombres réels a, b, c, d tels que a> b> c> d> 0 et a + b + c + d = 1.
Montrer que
(a + 2b + 3c + 4d) a a b b c c d d <1.
Solution deNovoselov ici
Problème 3
Il y a 4n galets avec des masses 1, 2, 3, ..., 4n . Chacun des cailloux est peint dans l'une des n couleurs, et il y a 4 cailloux de chaque couleur.
Prouvez que les pierres peuvent être divisées en deux tas de poids total égal afin que chaque tas contienne deux pierres de chaque couleur.
Décision decelen ici
Décision deNovoselov ici
Tâche 4
Un entier n> 1 est donné . Il y a n 2 stations funiculaire sur la pente de la montagne à des hauteurs différentes. Chacune des deux sociétés de funiculaires A et B possède k ascenseurs. Chaque ascenseur effectue un transfert direct régulier d'une des stations à une autre station plus élevée. Les k transferts de la société A commencent à k stations différentes; ils se terminent également à k stations différentes; avec un transfert qui commence au-dessus et se termine au-dessus. Les mêmes conditions sont remplies pour l'entreprise B. On dira que deux stations sont connectéescompagnie de funiculaire, si vous pouvez vous rendre de la gare inférieure à la gare supérieure en utilisant un ou plusieurs transferts de cette société (les autres transferts entre gares sont interdits). Trouvez le plus petit k pour lequel il existe deux stations connectées par les deux sociétés.
Problème 5
Il existe n> 1 cartes, chacune contenant un entier positif.
Il s'est avéré que pour deux cartes quelconques, la moyenne arithmétique des nombres écrits dessus est égale à la moyenne géométrique des nombres écrits sur les cartes d'un certain ensemble constitué d'une ou plusieurs cartes. Pour quoi n s'ensuit-il que tous les nombres inscrits sur les cartes sont égaux?
Décision deNovoselov ici
Problème 6
Démontrez qu'il existe une constante positive c pour laquelle l'énoncé suivant est vrai:
Soit S un ensemble de n> 1 points du plan dans lequel la distance entre deux points quelconques est d'au moins 1. Il y a alors une ligne ℓ séparant l'ensemble S de telle sorte que la distance de tout les points S à ℓ sont au moins cn −1/3 .
(Une droite ℓ sépare l' ensemble des points S si elle coupe un segment dont les extrémités appartiennent à S.)
Remarque. Des résultats plus faibles avec cn −1/3 remplacé par cn −α peuvent être estimés en fonction de la valeur de la constante α> 1/3 .
Statistiques pour résoudre le 6ème problème. Les Chinois se sont montrés excellemment. Le Français Vladimir Ivanov a également réalisé un bon résultat.