Des exercices de mathématiques pures ont conduit à la création d'une théorie à grande échelle sur la structure du monde
À un moment donné au milieu de l'été 2016, le mathématicien hongrois Gabor Domokos est monté sur le porche de la maison de Douglas Jerolmak , un géophysicien de Philadelphie. Domokosh avait des valises de voyage avec lui, un froid intense et un secret brûlant.
Un peu plus tard, deux hommes ont marché le long de l'allée de gravier dans la cour arrière où la femme de Jerolmak gardait un chariot à tacos. Du calcaire concassé craquait sous leurs pieds. Domokosh montra ses pieds.
"Combien de facettes a chacune de ces pierres?" - Il a demandé. Puis il sourit. "Et si je vous disais qu'il y en a généralement six?" Et puis il a posé une question encore plus générale qui, espérait-il, résiderait en permanence dans le cerveau de son collègue. Et si le monde était fait de cubes?
Jerolmak a d'abord objecté: peut-être que les maisons sont construites en briques, mais la Terre est en pierres. Et la forme des pierres est évidemment différente. Le mica s'effrite en écailles, les cristaux se cassent le long d'axes rigidement définis. Cependant, Domokosh a fait valoir que les mathématiques pures impliquent à elles seules que toutes les pierres qui se cassent au hasard génèrent des formes avec une moyenne de six faces et huit sommets. Si nous prenons la moyenne pour tous, cela tendra vers une sorte de cube idéal. Domokosh a dit qu'il l'a prouvé mathématiquement. Maintenant, il avait besoin de Jerolmak pour l'aider à montrer que cela se produit aussi dans la nature.
«C'était une prédiction géométrique claire, née de la nature et sans aucune physique», a déclaré Jerolmak, professeur à l'Université de Pennsylvanie. "Comment diable la nature a-t-elle permis cela?"
Au cours des années suivantes, le couple a exploré leur idée géométrique, explorant tout, des fragments microscopiques de roches aux affleurements de roches géologiques, aux surfaces planétaires et même au dialogue de Timée de Platon . Tout cela a couvert le projet avec une touche de mysticisme. L'un des plus grands philosophes vers 360 avant JC cartographié cinq solides platoniquesavec cinq "éléments" de l'univers: la terre, l'air, le feu, l'eau et la matière stellaire. Par chance et / ou prévoyance, Platon a comparé les cubes, qui sont les mieux empilés, avec le sol. «Et j'ai pensé - d'accord, maintenant nous sommes déjà légèrement entrés sur le territoire de la métaphysique», a déclaré Jerolmak.
Gabor Domokos et Douglas Jerolmak
Cependant, ils ont continué à trouver des cuboïdes moyens dans la nature, ainsi que plusieurs formes qui ne ressemblaient pas à des cubes, mais obéissaient à la même théorie. En conséquence, ils ont créé une nouvelle plate-forme mathématique: un langage descriptif qui exprime comment les choses se désagrègent. Publié cette année, leur travail conjoint avec le titre ressemblait à un tome ésotérique de la série Harry Potter: Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation.
Plusieurs géophysiciens contactés par la revue affirment que la même plateforme mathématique pourrait être utilisée pour d'autres tâches, telles que l'étude de l'érosion des failles rocheuses ou la prévention de glissements de terrain dangereux. «C'est très intéressant», a déclaré le géomorphologue Mikael Attal de l'Université d'Édimbourg, l'un des deux examinateurs de ce travail. Un autre critique, le géophysicien David Furbisch de l'Université Vanderbilt, a déclaré: "Ce genre de travail me laisse me demander si je peux d'une manière ou d'une autre tirer parti de ces idées?"
Tous les défauts possibles
Bien avant sa visite à Philadelphie, Domokosh avait une question mathématique plus anodine.
Disons que vous avez brisé quelque chose en plusieurs morceaux. Vous avez maintenant une mosaïque - un ensemble de formes qui peuvent être assemblées sans chevauchement ni rupture, comme le sol d'un ancien bain romain. Supposons également que toutes les formes soient convexes.
Dans un premier temps, Domokosh s'est demandé s'il n'était possible qu'au moyen de la géométrie de prédire les chiffres en moyenne d'une telle mosaïque. Ensuite, il a voulu apprendre à décrire tous les autres ensembles possibles de ces figures.
En deux dimensions, vous n'avez pas besoin de casser quoi que ce soit en morceaux pour étudier cette question. Prenez un morceau de papier. Coupez-le au hasard en divisant la feuille en deux. Faites ensuite une coupe à chacun de ces polygones. Répétez le processus plusieurs fois. Calculez le nombre moyen de sommets pour chaque morceau de papier.
Pour une personne qui étudie la géométrie, trouver la réponse à cette question ne sera pas si difficile. "J'ai mis une caisse de bière, que je peux vous aider à obtenir cette formule dans quelques heures", a déclaré Domokosh. En moyenne, les pièces doivent avoir quatre sommets et quatre côtés, et leur forme moyenne sera rectangulaire.
Le même problème peut être envisagé en trois dimensions. Il y a 50 ans, un physicien nucléaire russe, lauréat du prix Nobel de la paix, et plus tard un dissident Andrei Dmitrievitch Sakharov a pensé au même problème lorsqu'il coupait du chou avec sa femme. Combien de sommets chacune des pièces résultantes aura-t-elle en moyenne? Sakharov a confié cette tâche au légendaire mathématicien soviétique Vladimir Igorevich Arnold et à son élève. Cependant, ils n'ont pas trouvé de solution complète et leurs tentatives ont été largement oubliées.
Moeraki boulders en Nouvelle-Zélande
Domokosh, qui ne connaissait pas leur travail, a rédigé une preuve dont la réponse était des cubes. Mais il voulait vérifier son exactitude. Il a décidé que si la réponse à ce problème existe déjà, elle devrait être cachée dans le travail incompréhensible des mathématiciens allemands Wolfgang Weil et Rolf Schneider - un titan de 80 ans du domaine de la géométrie [le titre n'est pas indiqué dans l'original - apparemment, il veut dire le livre " Stochastic et géométrie intégrale "/ env. par.]. Domokosh est un mathématicien professionnel, mais le texte du livre était trop lourd même pour lui.
«J'ai trouvé une personne qui a accepté de me lire la partie du livre et de la traduire en humain», a déclaré Domokosh. Il y trouva un théorème pour n'importe quel nombre de dimensions. Elle a confirmé que les cubes apparaissent dans la réponse en trois dimensions.
Maintenant, Domokosh a trouvé des chiffres moyens obtenus en coupant une surface plane ou une brique en trois dimensions. Une question plus générale a émergé. Domokosh s'est rendu compte qu'il pouvait aussi développer une description mathématique non seulement des chiffres moyens, mais aussi potentiellement de n'importe lequel: quel ensemble de chiffres, en principe, peut-on obtenir en divisant un objet?
Rappelons que les chiffres obtenus après la désintégration de l'objet sont une mosaïque. Ils peuvent être assemblés sans chevauchement ni interruption. Les rectangles dans lesquels nous avons découpé la feuille peuvent facilement être constitués de sorte qu'ils remplissent une mosaïque bidimensionnelle. Les hexagones sont également capables de cela - dans le cas idéalisé d'un ensemble, que les mathématiciens appellent « diagramme de Voronoï » Mais l'avion ne peut pas être pavé de pentagones ou d'octogones.
Géométrie de Mars. Pour analyser la surface - dans ce cas, la surface en nid d'abeille d'un cratère de Mars - les chercheurs marquent tous les sommets et côtés. Ils comptent le nombre de sommets pour chacune des cellules et le nombre de cellules pour lesquelles chacun des sommets est commun.
Pour classer correctement les mosaïques, Domokosh a commencé à les décrire avec deux nombres. Le premier est le nombre moyen de sommets par cellule. Le second est le nombre moyen de cellules différentes pour lesquelles il existe un sommet commun. Ainsi, par exemple, dans une mosaïque de tuiles hexagonales, chaque tuile a six sommets. Et chaque sommet est commun à trois hexagones.
Dans les mosaïques, seules certaines combinaisons de ces deux paramètres fonctionnent, ce qui donne une petite plage de chiffres dans laquelle quelque chose peut, en principe, se désintégrer.
Là encore, cette gamme est assez facile à trouver en deux dimensions, mais beaucoup plus difficile en trois. Dans l'espace tridimensionnel, les cubes s'emboîtent très bien, mais il existe d'autres types de formes, y compris celles qui forment des versions tridimensionnelles du diagramme de Voronoï. Afin de ne pas trop compliquer le problème, Domokosh s'est limité à une mosaïque de cellules convexes régulières avec des sommets communs. En conséquence, lui et le mathématicien Zsolt Langy ont proposé une nouvelle hypothèse en esquissant une courbe qui s'adapte à toutes les mosaïques tridimensionnelles possibles. Ils ont publié le travail dans Experimental Mathematics, «puis j'ai tout envoyé à Rolf Schneider, notre divinité», a déclaré Domokos.
Espace de cubes. En trois dimensions, la plupart des pierres sont divisées en cubes avec huit sommets par cellule. Une carte de mosaïques admissibles de formes convexes avec des cellules régulières qui ont des sommets communs s'insère dans une bande étroite. La zone des formes cubiques est surlignée en rouge.
Verticale: le nombre de sommets par cellule
Horizontal: le nombre de cellules communes à chaque sommet
«Je lui ai demandé s'il était nécessaire d'expliquer comment j'en suis venu à cette hypothèse, mais il a dit qu'il en avait connaissance», rit Domokosh. "C'était cent fois plus important pour moi que l'acceptation d'un article par n'importe quel magazine dans le monde."
Plus important encore, Domokosh avait maintenant une plate-forme. Les mathématiques ont fourni un moyen de classer toutes les façons de partitionner des surfaces et des blocs. Et la géométrie a prédit que si vous cassez une surface plane par accident, elle se divisera en quelque chose comme des rectangles. En trois dimensions, la division se traduira par quelque chose comme des cubes.
Mais pour que tout cela compte pour quelqu'un d'autre qu'un petit groupe de mathématiciens, Domokosh devait prouver que le monde réel obéit également à ces règles.
De la géométrie à la géologie
Au moment où Domokosh était à Philadelphie en 2016, il avait déjà accompli quelque chose pour résoudre le problème par rapport au monde réel. Avec des collègues de l'Université de technologie et d'économie de Budapest, ils ont collecté des fragments de dolomite qui se sont détachés du rocher Harmashhatar-hegy, situé à Budapest. Pendant plusieurs jours, un ouvrier de laboratoire, sans aucun préjugé sur les cubes, comptait assidûment le nombre de faces et de sommets de centaines de pièces. Quel score moyen a-t-il obtenu? Six visages, huit sommets. Domokos, en collaboration avec Janos Törok, un simulateur informatique, et Ferenc Kun, un expert en physique de la fragmentation, ont découvert que des cuboïdes moyens apparaissaient dans d'autres types de roches, comme le gypse et le calcaire.
Armé de mathématiques et de premières preuves physiques, Domokosh a présenté son idée à un Jerolmak accablé. «Il m'a hypnotisé et tout le reste a disparu pendant un moment», a déclaré Jerolmak.
Leur alliance n'était pas nouvelle. Il y a de nombreuses années, Domokosh s'est fait connaître en prouvant l'existence des Gömböts.- une figure tridimensionnelle amusante, se retournant obstinément dans une certaine position d'équilibre. Pour savoir si les Gömböts pouvaient exister dans la réalité, il a attiré Jerolmak, qui a aidé à appliquer ce concept pour expliquer la forme ronde des cailloux sur Terre et Mars [Vladimir Arnold a mis la main ici, soulevant pour la première fois la question de l'existence de tels corps / env. par.]. Maintenant, Domokosh a de nouveau demandé de l'aide pour transformer certains concepts mathématiques théoriques en une pierre tangible.
Gömbötz est une figure homogène tridimensionnelle convexe qui a exactement un point d'équilibre stable et un point d'instable
Le couple s'est mis d'accord sur un nouveau plan. Pour prouver l'existence de cubes platoniciens dans la nature, ils devaient montrer plus qu'une simple coïncidence aléatoire de géométrie et une poignée de cailloux. Ils devaient examiner toutes les roches, puis esquisser une théorie convaincante sur la façon dont les mathématiques abstraites pourraient infiltrer une géophysique désordonnée, puis dans une réalité encore plus désordonnée.
Au début, «tout semblait fonctionner», a déclaré Jerolmak. Les mathématiques de Domokosh ont prédit que les fragments de pierres devraient, en moyenne, être des cubes. Un nombre croissant de fragments réels semblait s'inscrire dans cette théorie. Cependant, Jerolmak s'est vite rendu compte que pour prouver la théorie, il était nécessaire de traiter les exceptions aux règles.
Après tout, la même géométrie permet de décrire de nombreux autres motifs de mosaïque, dont l'existence est autorisée à la fois en deux et en trois dimensions. Djerolmak pourrait immédiatement nommer plusieurs types de pierres réelles, non similaires aux rectangles et aux cubes, qui pourraient encore être mis dans cette classification plus étendue.
Peut-être que ces exemples réfuteraient complètement la théorie du monde cubique. Ou, peut-être plus intéressant encore, ils n'apparaîtraient que lors d'occasions spéciales dont les géologues pourraient tirer de nouvelles leçons. «J'ai dit que je savais que cela ne fonctionnait pas partout, et j'ai besoin de savoir pourquoi», a déclaré Jerolmak.
Au cours des années suivantes, Jerolmak et son équipe, travaillant des deux côtés de l'Atlantique, ont commencé à déterminer exactement où des exemples réels de morceaux de pierre tombaient sur la plate-forme Domokosh. En examinant des surfaces essentiellement bidimensionnelles - pergélisol fissuré en Alaska, affleurements de dolomite, fissures dans un bloc de granit - ils ont trouvé des polygones qui, en moyenne, avaient quatre côtés et quatre sommets, tout comme du papier découpé. Chacun de ces phénomènes géologiques semblait se manifester là où les roches se fissuraient simplement. Dans ce domaine, la prédiction de Domokosh s'est réalisée.
Univers de tuiles. Toutes les tuiles convexes possibles qui couvrent complètement le plan peuvent être tracées par rapport au nombre moyen de sommets de tuile (axe y) et au nombre moyen de cellules divisant un sommet (axe x). Exemples du monde réel:
6 - chaussée de géants , 7 - pergélisol en Alaska, 8 - boue séchée, 9 - surface de granit.
Mais il y avait un type de surface plane à la hauteur des espérances de Jerolmac: c'était une exception avec sa propre histoire. Les surfaces planes couvertes de saleté sèchent, se fissurent, se mouillent, se resserrent, puis se fissurent à nouveau. Les cellules sur ces surfaces ont, en moyenne, six côtés et six sommets - un diagramme de Voronoi approximativement hexagonal. Une apparence similaire a une surface rocheuse qui est apparue après la solidification de la lave, qui se solidifie de la surface et vers le bas.
Fait intéressant, ce sont ces systèmes qui se forment sous l'influence d'autres forces qui les extraient, au lieu de les pousser. La géométrie révèle des caractéristiques géologiques. Jerolmak et Domokosh pensaient qu'un tel diagramme de Voronoi, quoique assez rare, pouvait également apparaître à une échelle beaucoup plus grande que ce qu'ils avaient précédemment étudié.
Le diagramme de Voronoi divise le plan en sections séparées, chacune composée de tous les points les plus proches du point de départ.
Compter la croûte
Pendant le développement, l'équipe s'est réunie à Budapest et a passé trois jours frénétiques à essayer frénétiquement d'inclure davantage d'exemples réels dans le modèle. Bientôt, Jerolmak fit apparaître un nouveau motif sur l'écran de l'ordinateur: une mosaïque des plaques tectoniques de la Terre. Les plaques reposent sur la lithosphère, une peau presque bidimensionnelle à la surface de la planète. Le motif semblait familier et Jerolmak a appelé les autres à l'admirer. «Nous avons tous été choqués», a-t-il déclaré.
À première vue, il semble que les dessins en plan tendent vers le diagramme de Voronoi, et non vers la grille carrée. Et puis l'équipe a fait les calculs. Dans une mosaïque de Voronoi idéale d'hexagones sur un plan, chaque cellule doit avoir six sommets. Les vraies plaques tectoniques avaient une moyenne de 5,77 pics.
À ce stade, le géophysicien pouvait déjà célébrer la victoire. Mais les mathématiques ne me convenaient pas. «L'humeur de Doug montait. Il a travaillé comme s'il était un habitué, - a déclaré Domokosh. "Et le lendemain, j'étais bouleversé parce que je pensais à cette rupture."
Le soir, Domokosh rentra chez lui, toujours dévoré par cette différence. Il a noté à nouveau tous les chiffres. Et soudain, une révélation est descendue sur lui. Les mosaïques hexagonales peuvent paver l'avion. Mais la Terre n'est pas plate - du moins en dehors de certains des coins controversés de YouTube. Imaginez un ballon de football composé de pentagones et d'hexagones. Domokosh a traité les données en tenant compte de la surface sphérique et a constaté que sur la balle, les cellules de la mosaïque de Voronoi devraient avoir une moyenne de 5,77 sommets.
Cette idée a aidé les chercheurs à résoudre l'une des questions importantes et ouvertes de la géophysique: comment se forment les plaques tectoniques de la Terre? Certains pensent que ces plaques sont un sous-produit des courants de convection se déplaçant profondément dans le manteau. Leurs adversaires pensent que la croûte terrestre est un système à part. Il s'est dilaté, est devenu cassant et s'est cassé. Faire correspondre les dalles au diagramme de Voronoi, qui ressemble à une croûte de boue, peut soutenir la deuxième théorie, a déclaré Jerolmak. «Cela m'a également donné une idée de l'importance de ce travail», a déclaré Attal. "Phénoménal."
Moment crucial
En trois dimensions, il y avait quelques exceptions à la règle du cube. Et elles aussi pourraient être expliquées en simulant des forces inhabituelles poussant vers l'extérieur. Une formation distinctement non cubique se trouve sur la côte de l'Irlande du Nord, où les vagues s'écrasent contre des dizaines de milliers de colonnes de basalte. En irlandais, on l'appelle Clochán na bhFomhórach , une route de pierres pour les êtres surnaturels. En anglais, on l'appelle "le pont des géants ".
Il est important que ces colonnes et autres formations volcaniques similaires soient hexagonales. Cependant, à en juger par les simulations de Tyrok, les mosaïques similaires à cette chaussée sont simplement des structures tridimensionnelles qui se sont développées à partir de la base bidimensionnelle des diagrammes de Voronoi après le refroidissement de la roche volcanique.
Bridge of Giants en Irlande du Nord
L'équipe soutient que si vous prenez une vue d'ensemble, la plupart des mosaïques de la pierre fissurée peuvent être classées à l'aide de rectangles platoniciens, de diagrammes de Voronoï bidimensionnels et tous ensemble - des cubes platoniques en trois dimensions. Chacun des motifs peut raconter sa propre histoire géologique. Et, oui, compte tenu de certaines particularités, on peut dire que le monde est fait de cubes.
«Ils ont dûment validé leur modèle par rapport à la réalité», a déclaré Martha-Carey Epps , spécialiste scientifique à l'Université de Caroline du Nord. "Mon scepticisme initial s'est estompé."
«Les mathématiques nous disent que si nous écrasons des pierres, tout ce que nous voulons, par accident ou exprès, nous avons encore un ensemble limité d'options», a déclaré Furbish. "N'est-ce pas intelligent?"
Peut-être pourrez-vous prendre, par exemple, un endroit réel constitué de roches fracturées, compter les sommets et les arêtes, puis tirer une conclusion sur les processus géologiques qui s'y déroulent.
«Pour certains endroits, nous disposons de données qui nous permettent de regarder cette question sous cet angle», a déclaré Roman Dibayas , géomorphologue à la Pennsylvania State University. «Ce serait cool si nous pouvions tirer des conclusions de choses qui ne sont pas évidentes comme le trottoir des géants - il suffit de frapper une pierre avec un marteau et de voir à quoi ressemblent les éclats.»
Jerolmak, qui croyait au début que la connexion avec les solides platoniciennes pouvait être accidentelle, accepta maintenant cette hypothèse. Après tout, en fin de compte, le philosophe grec pensait que les formes géométriques correctes étaient nécessaires pour la connaissance de l'Univers, bien qu'elles soient elles-mêmes invisibles à l'œil et n'apparaissent que sous la forme d'ombres déformées.
«C'est littéralement l'exemple le plus évident auquel vous puissiez penser. La moyenne statistique de toutes ces observations est un cube, a déclaré Jerolmak. "Mais un tel cube est introuvable."