🚱 🙃 👩‍🎤 Modèles de distribution des nombres premiers 🐪 #⃣ 💩

introduction

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs naturels différents - un et lui-même. Ces chiffres sont d'un grand intérêt. Le fait est que personne n'a été en mesure de comprendre et de décrire pleinement le modèle selon lequel les nombres premiers sont situés dans une rangée de nombres naturels.

Même avant notre ère, Euclide a formulé et prouvé les premiers théorèmes sur les nombres premiers. Depuis, les mathématiciens, parmi lesquels Gauss, Fermat, Riemann, Euler, ont poursuivi leurs recherches et nous devons leur rendre hommage pour avoir fait des progrès significatifs. De nombreuses propriétés intéressantes des nombres premiers ont été découvertes, de nombreuses hypothèses ont été faites, dont certaines ont été prouvées. Cependant, de nombreuses hypothèses liées aux nombres premiers restent encore infondées.

Distribution des nombres premiers

La tâche principale, dont la solution conduirait automatiquement à la solution de la plupart des questions liées aux nombres premiers, est la suivante:

Obtenez une formule récurrente pour le prochain nombre premier

$p_ {n + 1} = f (n, p_1, p_2, ..., p_n),$

p _n - n -ème nombre premier ( p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , p ₃ = 5 , ...)

Il existe un problème connexe concernant le nombre de nombres premiers ne dépassant pas une valeur donnée:

Trouvez une fonction p (x) dont la valeur au point x est égale au nombre de nombres premiers sur le segment [ 1, x ] . Où x est un nombre réel non inférieur à un.

La fonction $\ pi (x)$ est appelée fonction de distribution des nombres premiers.

Il existe de nombreuses approches pour résoudre les problèmes ci-dessus. Considérons certains d'entre eux.

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {tableau} {} {2k + 1 = 3m + 1, \\ 2k + 1 = 2m + 2,} \ end {tableau}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {array} {} {5 = 6 * 0 + 5, \\ 7 = 6 * 1 + 1, \\ 11 = 6 * 1 + 5, \\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end { tableau}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {tableau} {} {p = 30t + 1, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 11, \\ p = 30t + 7, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 17, \\ p = 30t + 13, \; \; \; \; p = 30t + 23, \\ p = 30t + 19, \; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {tableau}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1 - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}.$

, :

$(1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2})$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}} - \ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... + (- 1) ^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}.$

$P (n) = (1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2}) (1- \ frac {1} {p_3}) ... (1- \ frac { 1} {p_n}) \ qquad \ qquad (1)$

P(n). , (n→∞), .

, F (x) = x * P (n) . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln (n) + n * ln (ln (n)) - \ frac {3} {2} n <p_n <n * ln (n) + n * ln (ln (n))$

n, 6.

$\ frac {x} {ln (x)} <\ pi (x) <1.25506 \ frac {x} {ln (x)}$

$\ pi (x)$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \ flèche droite p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi (n) \ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi (n) \ sim n * ln (n)$ n→ ∞.