Il existe plusieurs méthodes pour trouver les racines d'une équation polynomiale du 4e degré.
Cependant, ils ne sont pas très pratiques pour résoudre des équations avec des coefficients, qui sont des expressions avec des paramètres.
1. Formule pour résoudre une équation de degré 4
Considérons une équation du 4ème degré dont la somme des racines est égale à zéro. Les coefficients peuvent être réels ou complexes.
Le produit des deux carrés suivants est identique à l'équation considérée du 4ème degré.
La valeur R est la solution de l'équation cubique suivante.
Presque la même équation apparaît lors de la résolution d'une équation du 4ème degré en développant la différence des carrés parfaits. Nous appellerons cette équation cubique auxiliaire.
Calculons le produit de deux carrés nouveaux.
De même, mais sous forme de coefficients à des puissances de x (par ordre décroissant de puissances).
Simplifions les expressions des coefficients aux deuxième et première puissances de x.
L'expression ci-dessus est pour le premier degré de x.
En conséquence, nous obtenons k1.
L'expression ci-dessus est pour la deuxième puissance de x.
Ou en
remplaçant l'expression pour R ^ 3, nous obtenons
Ou k2.
Ainsi, new est identique à l'équation du 4ème degré, dont la somme des racines est égale à zéro.
Le problème avec l'équation cubique auxiliaire demeure.
Bien entendu, des méthodes de solution traditionnelles peuvent être utilisées. Mais alors, il faudra transformer l'équation en une forme canonique et considérer séparément trois solutions en fonction des valeurs des coefficients. Ce n'est pas toujours pratique pour les coefficients qui sont des expressions avec des paramètres.
2. Solution de l'équation cubique par la méthode de transformation de Chirnhausen
Considérons la solution de l'équation cubique par la méthode de transformation de Chirnhausen peu répandue.
Nous résolvons donc l' équation originale
par la méthode de Chirnhausen.
L'essence de la méthode consiste en les transformations suivantes.
1. L'équation pour y est introduite
2. Les deux côtés de l'égalité de l'élément 1 sont multipliés par x
Ensuite, l'expression pour x ^ 3 est remplacée par L'
expression
En général, les transformations décrites dans la section 2 ne sont pas identiques. Mais si l'on ne considère que les valeurs de x, qui sont les racines de l'équation d'origine, intéressantes, alors ces transformations peuvent être considérées comme quasi identiques. Et puis y est représenté par une expression correspondant aux racines de l'équation d'origine.
3. Pour une équation cubique, l'opération du point 2 est effectuée une fois de plus. En conséquence, un système de 3 équations en x est obtenu, qui a trois solutions non nulles correspondant aux racines de l'équation d'origine. A partir des coefficients x, nous formons la matrice
4. Trouvez le déterminant de la matrice, qui est représenté par une expression cubique en y.
Nous calculons les valeurs qui assurent l'égalité du déterminant à zéro.
5. Dans l'équation pour y, il y a deux paramètres P et Q. Calculons-les de sorte que les coefficients aux deuxième et premier degrés de y soient égaux à zéro.
N'importe quel P
, où
6. Par conséquent, nous avons une équation à trois racines multiples pour y
7. Il reste à résoudre une équation quadratique avec y, P, Q connus
Une des solutions sera une solution à l'équation d'origine.
3. Paramètres de résolution de l'équation cubique auxiliaire
Pour les valeurs spécifiques des coefficients, tout n'a pas l'air si effrayant.
Notez qu'une seule racine R de l'équation cubique auxiliaire est requise pour la formule de résolution de l'équation du 4e degré.
Pour les coefficients spécifiques de l'équation auxiliaire, nous avons
Lors de l'utilisation de la formule pour résoudre une équation du 4ème degré, il est nécessaire de se référer à - "Méthode ftvmetrics"
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