Pendant longtemps, les mathématiciens ont tenté de résoudre le problème d'une chèvre au pâturage attachée à une clôture. Mais jusqu'à présent, ils ne pouvaient proposer que des solutions approximatives.
Voici une tâche simple pour vous . Imaginez une haie en forme de cercle, avec une zone de pâturage précisément connue enfermée à l'intérieur. Vous mettez une chèvre à l'intérieur et l'attachez avec une corde à la clôture. Combien de temps avez-vous besoin de la corde pour que la chèvre ait accès à exactement la moitié de cette zone?
Cela ressemble à une tâche de géométrie au lycée - cependant, les mathématiciens professionnels et les amateurs y ont pensé dans différentes formulations depuis plus de 270 ans. Certaines variantes de ce problème ont été résolues avec succès, mais l'énigme d'une chèvre à l'intérieur d'un cercle ne nous a donné que des réponses vagues et incomplètes.
À ce jour, «personne ne connaissait la réponse exacte à la question fondamentale», a déclaré Mark Meyerson., mathématicien de l'US Navy Academy. "La solution a toujours été approximative."
Cependant, en 2020, le mathématicien allemand Ingo Ullisch a finalement progressé . Il a trouvé, comme on le croit, la première solution exacte à ce problème - même si elle semble assez lourde et incompréhensible.
«C'est la première expression précise de la longueur de corde que je connaisse», a déclaré Michael Harrison , mathématicien à l'Université Carnegie Mellon. "C'est définitivement une percée."
Ullisch reconnaît que sa décision ne rayera pas les manuels ou ne conduira pas à des révolutions mathématiques. Cette tâche est isolée. "Il n'est pas lié à d'autres problèmes et n'est inclus dans aucune théorie mathématique." Mais il est toujours possible qu'un tel casse-tête donne lieu à de nouvelles idées mathématiques ou aide les chercheurs à trouver différentes approches à d'autres problèmes.
Dans et autour de la basse-cour
Le premier problème de ce type a été publié en 1748 dans le magazine féminin périodique de Londres The Ladies Diary: Or, The Woman's Almanack [Lady's Diary, or Women's Almanac]. Le magazine a promis «de nouvelles améliorations dans les arts et les sciences et beaucoup de petites choses amusantes».
Le scénario original met en scène un cheval paissant en laisse dans un parc. Dans la tâche, le cheval était attaché à l'extérieur de la clôture. Si la longueur de la corde correspond à la circonférence de la clôture, sur quelle zone le cheval peut-il brouter? Plus tard, cette tâche a été appelée «à l'extérieur», car le pâturage qui s'y trouvait n'était pas à l'intérieur du cercle, mais à l'extérieur.
La réponse au puzzle est apparue dans le numéro de 1749. La réponse a été compilée par un "M. Heath", basé, entre autres, sur l'ouvrage de référence "Research and Logarithm Tables". Il a donné la réponse: 76 257,86 mètres carrés sur 160 mètres de corde. Et c'était une réponse approximative, pas un calcul exact. Expliquons avec un exemple: vous pouvez écrire une réponse numérique approximative à l'équation x 2 - 2 = 0, x = 1,4142, mais ce ne sera pas aussi précis ou satisfaisant que x = √2.
Le problème est réapparu en 1894 dans le premier numéro de l'American Mathematical Monthly, révisé pour le cas où l'animal broute à l'intérieur de la clôture. Ce type de tâche est appelé "interne", et en moyenne, ils sont plus difficiles qu'externes, a expliqué Ullisch. Dans le problème externe, vous pouvez partir du rayon du cercle et de la longueur de la corde, puis calculer la surface. Il peut être résolu par des intégrales.
«Le résoudre dans la direction opposée, en commençant par une zone donnée et en demandant quelles contributions y mènent, est beaucoup plus difficile», a déclaré Ullisch.
Dans les décennies qui ont suivi, le mensuel a publié différentes versions du problème interne, impliquant principalement des chevaux (et dans au moins un cas une mule) au lieu de chèvres. Il y avait des clôtures rondes, carrées et elliptiques. Mais dans les années 1960, pour des raisons mystérieuses, les chèvres ont progressivement supplanté les chevaux dans la littérature. Malgré le fait que selon le mathématicien Marshall Fraser, les chèvres sont «trop indépendantes pour vivre en laisse».
Chèvres dans les dimensions supérieures
En 1984, Fraser a fait preuve de créativité en faisant passer le problème d'un thème pastoral plat à un paysage plus complexe. Il a calculé combien de temps une corde serait nécessaire pour qu'une chèvre broute exactement la moitié du volume d'une sphère à n dimensions lorsque n approche de l'infini. Meyerson a trouvé une erreur logique dans son raisonnement et plus tard dans la même année l'a corrigée , mais est arrivé à la même conclusion. Lorsque n s'approche de l'infini, le rapport de la longueur de la corde au rayon de la sphère tend vers √2.
Meyerson a noté que cette manière apparemment plus complexe de décrire le problème, dans un espace multidimensionnel au lieu d'un champ avec de l'herbe, facilitait en fait la recherche d'une solution. "Dans un nombre infini de dimensions, nous avons une réponse exacte, et en deux dimensions, il n'y a pas de solution aussi claire."
Il existe deux types de problèmes pour une chèvre au pâturage. Les deux sont associés à une chèvre attachée à une clôture ronde. La version interne demande la longueur de la corde qui donnera accès à exactement la moitié de la zone fermée. L'extérieur demande à quelle zone la chèvre a accès compte tenu de la longueur de la corde et du rayon de la clôture (sur la photo, la longueur de la corde est égale à la circonférence de la clôture).
En 1998, Michael Hoffman, un autre mathématicien de l'US Naval Academy, a élargi le problème dans une direction différente lorsqu'il est tombé sur un exemple de problème externe sur un groupe de discussion. Dans cette version, il était nécessaire d'estimer la surface disponible pour un taureau attaché à l'extérieur d'un silo circulaire. Le problème a intéressé Hoffman, et il a décidé de le généraliser non seulement à un cercle, mais à toute courbe convexe lisse, y compris les ellipses et même les courbes non fermées.
«Lorsqu'il est confronté à un énoncé de problème pour un cas simple, un mathématicien essaiera de comprendre comment il peut être généralisé», a déclaré Hoffman.
Hoffman a considéré le cas où un harnais de longueur L est inférieur ou égal à la moitié de la longueur de la courbe. Tout d'abord, il a tracé une ligne tangente où la corde est attachée. Un taureau peut brouter en demi-cercle avec une aire de πL 2/ 2 délimité par une tangente. Hoffman a ensuite calculé l' aire exacte entre la tangente et la courbe via une intégrale.
Plus tard, Graham Jameson , un mathématicien de l'Université de Lancaster, et son fils Nicholas ont proposé une solution détaillée à un problème interne en trois dimensions. Ils ont choisi cette occasion car elle était moins populaire. Parce que les chèvres ne peuvent pas se déplacer si facilement en trois dimensions, Jameson a surnommé cette tâche le «problème des oiseaux» dans un article de 2017. Cela ressemble à ceci: si vous attachez un oiseau à une cage sphérique, combien de temps la corde doit-elle être pour limiter son mouvement à exactement la moitié de son volume?
«Le problème en trois dimensions est en fait plus facile à résoudre qu'en deux», a déclaré Jameson Sr. En conséquence, le couple a trouvé la solution exacte. Cependant, comme la forme mathématique de la réponse était, selon Jameson, "précise mais terrible" et pouvait effrayer les chercheurs inexpérimentés, ils ont également proposé une méthode de calcul approximative qui donne une estimation numérique de la longueur de la corde, ce qui "plairait aux amoureux des oiseaux".
Obtenez la chèvre
Néanmoins, la solution exacte du problème bidimensionnel dans la formulation de 1894 a échappé aux mathématiciens - jusqu'à l'apparition des travaux d'Ullisch en 2020. Ullish a entendu parler de cette tâche pour la première fois par un parent en 2001, alors qu'il était encore enfant. Il a commencé à y travailler en 2017, recevant son doctorat de l'Université Wilhelm de Westphalie à Münster. Il a décidé d'essayer une nouvelle approche.
À ce moment-là, il était bien connu que le problème de la chèvre pouvait être réduit à une seule équation transcendantale , qui par définition inclut des termes trigonométriques comme le sinus et le cosinus. Cela pourrait créer un problème, car de nombreuses équations transcendantales ne peuvent pas être résolues. Par exemple, l'équation x = cos (x) n'a pas de solutions exactes.
Ingo Ullish
Cependant, Ullish a formulé le problème de manière à se doter d'une équation transcendantale plus conforme: sin (β) - β cos (β) - π / 2 = 0. Et bien que cela puisse aussi sembler inaccessible, il s'est rendu compte qu'il peut être approché à l'aide d'un complexe analyse - une branche des mathématiques qui applique des outils analytiques aux équations avec des nombres complexes. Une analyse complète existe depuis des siècles, mais Ullish, pour autant qu'il le sache, a été le premier à appliquer cette approche aux chèvres affamées.
Avec cette stratégie, il a pu transformer son équation transcendantale en une expression équivalente de la longueur de la corde qui permettrait à la chèvre de brouter dans la moitié de la zone confinée. Autrement dit, il a finalement répondu à la question en utilisant des formules mathématiques précises.
La solution au problème est donnée sous la forme du cosinus du rapport de deux intégrales curvilignes (formule de Wikipedia)
Malheureusement, il y a un hic. La solution d'Ullisch n'est pas une expression simple comme la racine carrée de 2. C'est une chose aussi complexe que le rapport de deux intégrales curvilignes mélangées avec différentes fonctions trigonométriques. D'un point de vue pratique, il ne vous dira pas exactement combien de temps une laisse de chèvre devrait être. Pour obtenir une réponse applicable à l'agriculture, vous devez encore faire quelques calculs approximatifs.
Mais Ullish pense toujours que la solution exacte est précieuse, même si elle n'est pas si belle et simple. «Si nous n'utilisons que des valeurs numériques ou des approximations, nous ne comprendrons pas l'essence de la nature de la solution», a-t-il déclaré. "La formule nous permet de comprendre comment la solution est dérivée."
N'abandonne pas la chèvre
Ullisch a mis la chèvre de pâturage de côté pour le moment, car il ne sait pas trop où aller. Mais d'autres mathématiciens développent déjà leurs propres idées. Harrison, par exemple, prépare un article pour publication dans Mathematics Magazine, où il explore les propriétés d'une sphère afin d'aborder une généralisation tridimensionnelle du problème de la chèvre.
"En mathématiques, il est souvent utile de trouver de nouvelles façons d'obtenir une réponse - même pour des problèmes qui ont déjà été résolus", a noté Meyerson, "car il peut être possible de généraliser tout cela pour une utilisation dans d'autres problèmes."
C'est pourquoi les mathématiciens ont dépensé tant d'encre sur des animaux imaginaires. «Mon instinct nous dit que travailler sur le problème du pâturage des chèvres ne nous donnera pas de percées», a déclaré Harrison, «mais vous ne pouvez pas le savoir avec certitude. Les nouvelles mathématiques peuvent venir de n'importe où. "
Hoffman est plus optimiste. L'équation transcendantale d'Ullisch est liée aux équations transcendantales que Hoffman a étudiées dans un article de 2017. Il s'y intéressa à son tour grâce aux travaux de 1953, qui exposaient les méthodes conventionnelles sous un jour nouveau. Cette approche lui rappelle comment Ullisch a appliqué des méthodes bien connues d'analyse complexe à des équations transcendantales dans de nouvelles conditions - dans ce cas, dans le problème des pronostics.
"Les personnes qui font des percées fondamentales en mathématiques ne sont pas responsables de tous les progrès", a déclaré Hoffman. "Parfois, cela passe par le fait que quelqu'un étudie les approches classiques et y trouve de nouvelles méthodes pour résoudre le puzzle, ce qui peut finalement conduire à de nouveaux résultats."