Comment quatre mathématiciens ont résolu la question des formes géométriques de base en créant une liste complète de tétraèdres avec des angles rationnels en utilisant des méthodes de théorie des nombres.
Tous les 59 tétraèdres avec des angles dièdres rationnels peuvent être vus de différents côtés par référence .
Le tétraèdre est la forme tridimensionnelle la plus simple avec des côtés plats. Ses principales propriétés ont intrigué les esprits curieux, même à l'époque de Platon et d'Aristote. Et en novembre 2020, la preuve finale a été publiée , qui identifiait de manière fiable tous les tétraèdres spéciaux existants. Dans ce travail, les mathématiciens répondent à la question d'une figure ancienne grâce à des technologies de pointe qui permettent d'utiliser une nouvelle méthode pour trouver des solutions à certaines équations.
«Ce sont des objets mathématiques idéalisés qui seront toujours avec nous, et maintenant nous les connaissons tous», explique Martin Weissman de l'Université de Californie à Santa Cruz.
Le tétraèdre a une base triangulaire et trois côtés triangulaires, formant une pyramide. Des paires de faces se touchent le long des bords pour former six coins dièdres.
La nouvelle preuve définit toutes les variantes de la configuration du tétraèdre, où chacun des six angles dièdres a des valeurs rationnelles, ce qui signifie que chacun d'eux peut être écrit comme une fraction. Il déclare qu'il existe exactement 59 exemples distincts, ainsi que 2 familles infinies de tétraèdres, satisfaisant à cette condition.
En fait, ces tétraèdres ont été découverts par des mathématiciens il y a des décennies à l'aide de méthodes de recherche informatique, mais ils ne savaient pas s'il y en avait d'autre. Plus largement, ils n'ont pas compris comment prouver qu'il n'y avait pas d'autres tétraèdres similaires.
«Ils ont été retrouvés dans les années 1990, mais ce n'est qu'en 2020 que nous avons pu prouver que la liste était complète», a déclaré Kiran Kedlaya , mathématicien à l'Université de Californie à San Diego. Kedlaya est co-auteur de la preuve avec Alexander Kolpakov de l'Université de Neuchâtel en Suisse, Bjorn Punen du Massachusetts Institute of Technology et Michael Rubinsteinde l'Université de Waterloo.
Samuel Velasco / Quanta Magazine
Le problème de la classification des tétraèdres avec des angles dièdres rationnels peut sembler simple, mais il a fallu des années de connaissances mathématiques accumulées pour le résoudre, ainsi qu'une puissance de calcul qui n'était pas disponible il y a encore dix ans.
«Vous ne pouvez pas obtenir ce genre de résultat simplement en jouant avec un stylo et du papier. Ils ont développé des méthodes très sophistiquées », explique Marjorie Seneschal du Smith College.
Il n'y a presque pas de dessins dans l'épreuve de 30 pages. Au lieu de cela, la logique est basée sur la résolution d'une équation polynomiale dans laquelle les coefficients et les variables sont élevés à une puissance, par exemple, y = 3x 2+ 6. Bien sûr, l'équation considérée dans la preuve est beaucoup plus compliquée.
«La plupart des travaux sont basés sur la théorie des nombres, mais la géométrie se trouve à la surface», explique Kedlaya.
Le lien entre la géométrie et la théorie des nombres a donné un indice aux mathématiciens, mais ils ont dû travailler dur pour développer cette idée, car il est très difficile de trouver des solutions spéciales à des équations complexes et de prouver que vous les avez toutes trouvées. Les mathématiciens ne savent pas comment faire cela pour la plupart des équations.
«Il n’existe pas de méthode universelle qui fonctionne toujours. Vous ne pouvez presque jamais résoudre une équation », déclare Peter Sarnak de l'Institute for Advanced Study.
Seulement dans ce cas, les mathématiciens ont réussi! En découvrant une nouvelle méthode pour trouver des solutions aux équations polynomiales, ils ont répondu à la question de base sur les formes géométriques et ont peut-être facilité la recherche de solutions à d'autres équations à l'avenir.
Test des tétraèdres
La question de la définition de tous les tétraèdres avec des angles dièdres rationnels (tétraèdres rationnels) a d'abord été formellement formulée par John Conway et Antonia Jones dans un article de 1976.
Ils voulaient trouver des tétraèdres qui pourraient être coupés et assemblés en un cube du même volume, une propriété connue sous le nom de congruence en ciseaux. Dans leurs travaux, ils ont développé un raisonnement remontant à 1900, lorsque David Hilbert a proposé 23 problèmes qui ont guidé la recherche mathématique au XXe siècle. Son troisième problème est lié à la question suivante: sont des paires de figures tridimensionnelles de ciseaux à volume égal. Il a été rapidement prouvé que ce n'était pas le cas, mais il s'est avéré que tous les tétraèdres rationnels sont congruents au cube.
"Conway et Jones ont posé la question des tétraèdres rationnels comme un cas particulier d'une question beaucoup plus complexe de classification des tétraèdres", a déclaré Kedlaya.
Ce sont des objets mathématiques idéalisés qui seront toujours avec nous.
Martin Weissman, Université de Californie, Santa Cruz.
Ils ont pu esquisser une méthode pour trouver ces tétraèdres: résoudre une équation polynomiale spécifique. Leur équation contient six variables correspondant aux six angles dièdres du tétraèdre, et a 105 termes reflétant la relation complexe des angles dièdres du tétraèdre les uns avec les autres. À titre de comparaison, imaginez un triangle, ses trois angles intérieurs sont reliés dans un polynôme simple, composé de seulement trois membres: a + b + c = 180 degrés.
L'équation polynomiale identifiée par Conway et Jones a également une infinité de solutions qui correspondent à des configurations infinies de tétraèdres possibles. Conway et Jones ont dit que pour définir les tétraèdres avec tous les angles dièdres rationnels, les mathématiciens doivent trouver une classe spéciale de solutions à l'équation qui correspondent exactement aux tétraèdres rationnels.
Eux-mêmes ne savaient pas comment trouver une solution, mais ils étaient sûrs que cela pouvait être fait: "Il est probable qu'un tétraèdre ordinaire ... dont les angles dièdres sont rationnels, puisse être trouvé en utilisant nos méthodes."
Plus de 40 ans plus tard, quatre mathématiciens ont confirmé leur hypothèse.
Racines d'un
La stratégie de Conway et Jones est assez courante chez les mathématiciens qui recherchent souvent des types particuliers de solutions lors de l'étude des équations polynomiales. Celles-ci peuvent être des solutions sous forme d'entiers ou de nombres rationnels. Ou, comme dans ce cas, il peut s'agir de solutions avec le nom élégant «roots from one».
La plupart des racines d'un n'apparaissent pas sur la droite numérique normale. Au lieu de cela, ils sont parmi des nombres complexes comme 3 + 4i, qui ont une partie réelle (3) et une partie imaginaire (4). Les racines de l'unité servent de solutions aux équations polynomiales et ont une propriété algébrique particulière: les élever à une certaine puissance donne 1. De plus, elles ont une représentation géométrique élégante: elles se trouvent toutes sur le cercle unité dans le plan complexe.
Pour résoudre l'équation polynomiale de Conway-Jones, vous devez attribuer des nombres complexes aux six variables pour que l'équation à 105 termes soit vraie. Les variables ne représentent pas littéralement les mesures d'angle réelles, mais remplacent les nombres complexes associés aux cosinus des angles. Conway et Jones ont remarqué que les tétraèdres rationnels correspondraient aux solutions d'un polynôme dans lequel toutes les variables sont des racines de l'unité.
"Six angles deviennent six points sur le cercle unitaire, et ces nombres complexes sont nécessaires pour satisfaire l'équation polynomiale", a déclaré Weissman.
Samuel Velasco / Quanta Magazine
Cependant, connaître cette correspondance n'est pas aussi utile que cela puisse paraître. Trouver des solutions est une chose. Et prouver que vous les avez tous trouvés est une tâche complètement différente et beaucoup plus difficile.
En 1995, deux auteurs d'un nouvel ouvrage, Punen et Rubinstein, ont en fait trouvé tous les tétraèdres avec des angles dièdres rationnels, comme il s'est avéré à la fin. En fait, ils ont deviné le moyen de les trouver en substituant des combinaisons de six nombres rationnels dans l'équation.
"Vous pouvez simplement essayer de prendre six nombres rationnels et de les brancher dans l'équation", a déclaré Poonen. «Le problème est que seules des solutions peuvent être trouvées de cette manière. Mais il ne précise pas si toutes les options possibles ont été trouvées. "
Recherchez chaque solution
Dans leur nouveau travail, quatre mathématiciens ont prouvé que la liste des tétraèdres aux angles rationnels trouvée par Punen et Rubinstein il y a 25 ans était complète et qu'aucun autre exemple ne serait découvert.
Leur collaboration a commencé en mars 2020 après que Poonen ait entendu dans un discours sur le travail connexe de Kedlai, co-écrit par un autre mathématicien. Ils ont recherché des racines de l'unité d'un autre polynôme pour résoudre un autre problème de classification. Poonen s'est immédiatement rendu compte que cela avait quelque chose à voir avec sa précédente étude inachevée des tétraèdres.
«Bjorn était très intéressé par mon travail», a déclaré Kedlay. "Il a dit:" Attendez, c'est exactement ce dont j'avais besoin dans les années 1990 ".
Bjorn Punen a écrit une lettre à Kiran Kedlae décrivant le problème de la recherche de tétraèdres rationnels. Sa courte lettre s'est terminée sur une note optimiste. «Je suis allé assez loin sur cette question dans les années 1990 [avec Michael Rubinstein], et je pense que cela peut être complété avec beaucoup d'efforts humains et informatiques.
En 2020, Kiran Kedlaya, Michael Rubinstein, Bjorn Punen et Alexander Kolpakov ont inventé une nouvelle façon de résoudre les équations et, ce faisant, ont trouvé tous les tétraèdres rationnels.
Après cette lettre, Kedlai s'est tourné vers Kolpakov, qui a également utilisé les racines de l'unité pour classer les types de formes géométriques. Au même moment, Poonen a contacté son co-auteur de l'époque, Rubinstein. Après avoir créé une équipe, ils se sont rapidement mis au travail.
«Nous avons organisé des réunions assez régulières, probablement deux heures par semaine pendant plusieurs mois», a déclaré Kedlaya. Et quand ils ont commencé à compiler une liste complète des racines de l'unité pour le polynôme Conway-Jones, ils ont eu une idée très large de l'endroit où les chercher.
Ils savaient que les solutions devaient être inférieures à un très grand nombre, une limite supérieure. Mais la frontière était si grande qu'il n'était pas question d'explorer toutes les possibilités en dessous.
«Ces limites à six variables sont terrifiantes. Sans idées fondamentalement nouvelles, la solution à ce problème dépasse le domaine du possible », a déclaré Sarnak.
Quatre mathématiciens ont rendu l'équation résoluble grâce à deux innovations majeures.
Premièrement, ils ont abaissé la limite supérieure. Dans leur nouvel article, ils ont prouvé qu'une équation polynomiale complexe représentant les tétraèdres peut elle-même être représentée comme plusieurs polynômes plus simples.
«Nous passons d'une équation à six variables à un ensemble de centaines d'équations plus simples», a déclaré Kedlaya.
Ils ont prouvé que toutes les racines d'unité de ces polynômes plus simples se situent sous la borne supérieure, qui est beaucoup plus petite que la borne supérieure vaste et inexplorée associée à un polynôme plus complexe. La correspondance entre les équations plus simples et les équations complexes signifie que trouver les racines de l'une pour la première se traduira par des racines de l'une pour la seconde. Malheureusement, même cet intervalle plus petit était encore trop long pour qu'ils explorent toutes les options possibles.
Vous ne pouvez pas obtenir ce résultat simplement en jouant avec un stylo et du papier.
Marjorie Seneschal, Smith College
La seconde innovation des auteurs a consisté à développer une manière intelligente de rechercher dans cet intervalle plus petit. Ils savaient que les solutions ont une certaine structure symétrique, ce qui signifie que s'il y a une solution dans une partie de l'intervalle, il doit y avoir une solution dans l'autre partie de l'intervalle.
Cela leur a permis de développer de nouveaux algorithmes qui utilisaient cette structure pour rechercher plus efficacement. De plus, ils ont utilisé ces algorithmes sur des ordinateurs beaucoup plus puissants que ceux de Conway et Jones lorsqu'ils ont proposé pour la première fois d'utiliser des racines de 1 pour résoudre un problème.
«Il s'avère que nous avons dû repenser un peu la stratégie [de Conway et Jones] avec 40 ans de connaissances supplémentaires et des ordinateurs plus puissants», a déclaré Kedlay.
Les nouveaux algorithmes ont testé toutes les combinaisons possibles de solutions dans un intervalle plus étroit. Sur la base de cette recherche exhaustive et définitive, les auteurs ont finalement prouvé qu'il n'y avait que 59 exemples distincts de tétraèdres à angles dièdres rationnels et deux familles infinies de tétraèdres (précisément ceux que Punen et Rubinstein avaient rencontrés des décennies plus tôt). Les tétraèdres de chaque famille infinie diffèrent par un paramètre, offrant des options infinies pour augmenter la taille de certains angles et en diminuer d'autres, tout en gardant tous les angles dièdres rationnels.
Dans cette exploration, chacun trouvera quelque chose pour lui-même.
Pour les mathématiciens intéressés à identifier les racines de l'unité des équations polynomiales, l'article propose un nouveau moyen pratique de les trouver. En particulier, les méthodes utilisées par les auteurs pour réduire un polynôme complexe de Conway-Jones à de nombreux polynômes plus simples sont susceptibles d'être appliquées à d'autres équations polynomiales complexes qui ne peuvent pas être résolues directement.
«Ce travail suggère que de nombreux autres problèmes qui semblaient insurmontables pourraient éventuellement être résolus avec de telles idées», a déclaré Sarnak.
Et pour les mathématiciens et tous ceux qui aiment l'exhaustivité, l'article donne une réponse nouvelle et parfaite: voici tous les tétraèdres dont vous ne pouvez que rêver.
«C'est une grande réussite», a déclaré Sarnak.