La question de David Hilbert sur les polynômes du septième degré, longtemps considérée comme résolue, a ouvert un nouveau réseau de connexions mathématiques pour les chercheurs
Le succès en mathématiques est rare. Demandez simplement à Benson Farb .
«Le problème avec les mathématiques est que 90% du temps, vous échouez, et vous devez être la personne qui peut l'accepter», a déclaré Farb lors d'un dîner avec des amis. Quand l'un des invités, également mathématicien, a été surpris que Farb réussisse jusqu'à 10% du temps, Farb a admis: "Non, non, j'ai grandement exagéré mon taux de réussite."
Farb, topologue à l'Université de Chicago, a heureusement rencontré son dernier revers - même si, en toute honnêteté, ce n'était pas entièrement son crédit. La question est liée à un problème, paradoxalement résolu et non résolu, ouvert et fermé.
Le problème est le 13e des 23 problèmes mathématiques qui n'ont pas été résolus au début du 20e siècle. Puis le mathématicien allemand David Hilbert a fait cette liste , qui, à son avis, a déterminé l'avenir des mathématiques. Le problème est lié à la résolution d'équations polynomiales du septième degré. Un polynôme est une séquence de termes d'une équation, dont chacun se compose d'un coefficient numérique et de variables élevées à une puissance; les termes sont reliés les uns aux autres par addition et soustraction. Le septième degré signifie le plus grand exposant de toutes les variables.
Les mathématiciens ont déjà appris à résoudre habilement et rapidement des équations du deuxième, du troisième et, dans certains cas, du quatrième ordre. Ces formules - y compris la formule quadratique familière du deuxième degré - incluent des opérations algébriques, c'est-à-dire l'arithmétique et l'extraction de racines. Mais plus l'exposant est grand, plus l'équation est confuse et elle devient de plus en plus difficile à résoudre. Le 13e problème de Hilbert est la question de savoir si la solution d'une équation du septième ordre peut être exprimée en termes d'un ensemble d'additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et de fonctions algébriques dans au plus deux variables.
En 1900, David Gilbert a compilé une liste de 23 problèmes critiques ouverts.
Réponse: probablement pas. Pour Farb, cependant, il ne s'agit pas simplement de résoudre une équation algébrique complexe. Il a dit que le problème 13 est l'un des problèmes les plus fondamentaux en mathématiques, car il soulève des questions profondes: à quel point les polynômes sont-ils complexes et comment peuvent-ils être mesurés? «Toute une couche de mathématiques modernes a été inventée pour mieux comprendre les racines des polynômes», a déclaré Farb.
Ce problème l'a poussé ainsi que le mathématicien Jesse Wolfson de l'Université de Californie à Irvine dans le terrier mathématique du lapin, dont ils étudient encore les mouvements. Elle a également amené Mark Kissin , un théoricien des nombres de Harvard et un vieil ami de Farb , à leur fouille .
Farb a reconnu qu'ils n'avaient pas encore résolu le 13e problème de Hilbert, ni même failli le résoudre. Cependant, ils ont mis au jour des stratégies mathématiques presque éteintes et ont exploré les liens du problème avec divers domaines de connaissances, notamment l'analyse complexe, la topologie, la théorie des nombres, la théorie des représentations et la géométrie algébrique. Ils ont appliqué leurs propres approches, en particulier, combinant les polynômes avec la géométrie et rétrécissant l'éventail des réponses possibles à la question de Hilbert. En outre, leurs travaux proposent une manière de classer les polynômes par des métriques de complexité - un analogue des classes de complexité liées au problème non résolu de l' égalité des classes P et NP .
«Ils ont en fait pu extraire une version plus intéressante de l'intérêt», par rapport à ceux étudiés précédemment, a déclaré Daniel Litt, mathématicien à l'Université de Géorgie. "Ils montrent à la communauté mathématique de nombreuses questions naturelles et intéressantes."
Ouvert, fermé et rouvert
De nombreux mathématiciens pensaient déjà que le problème était résolu. À la fin des années 1950, le brillant scientifique soviétique Vladimir Igorevich Arnold et son mentor Andrei Nikolaevich Kolmogorov ont publié leurs preuves. Pour la plupart des mathématiciens, les travaux d'Arnold-Kolmogorov ont clos cette question. Même sur Wikipédia - pas la vérité ultime, mais un intermédiaire plutôt raisonnable dans la recherche du savoir - jusqu'à récemment, le problème était marqué comme résolu.
Vladimir Arnold et son mentor Andrei Kolmogorov dans les années 1950 ont prouvé l'une des versions du 13e problème de Hilbert - mais, peut-être, Hilbert était intéressé par une autre version de celui-ci.
Cependant, il y a cinq ans, Farb est tombé sur des lignes intrigantes dans un essai d'Arnold, où le célèbre mathématicien réfléchit sur son travail et sa carrière. Farb fut surpris d'apprendre qu'Arnold décrivait le problème 13 comme ouvert et essayait depuis quarante ans de résoudre un problème qu'il semblait avoir déjà résolu.
«Il existe des travaux scientifiques où la thèse sur la solution du problème est simplement répétée. Ils ne comprennent clairement pas le problème lui-même », a déclaré Farb. À l'époque, il travaillait avec Wolfson, alors post-doctorant, sur un projet de topologie. Lorsqu'il a partagé les informations qu'il a trouvées dans le travail d'Arnold, Wolfson a rejoint le projet. En 2017, lors d'un séminaire dédié au 50e anniversaire de Farb, Kissin a entendu le discours de Wolsfon et a été surpris de réaliser que leurs idées sur les polynômes étaient liées à des problèmes dans son travail sur la théorie des nombres. Il a rejoint leur équipe.
La raison de la confusion avec ce problème est vite devenue claire: Kolmogorov et Arnold n'ont résolu qu'une seule de ses options. Leur solution comportait des fonctions continues - celles qui n'ont pas de coupures brusques ou de points d'inflexion. Ces fonctions incluent des opérations familières telles que sinus, cosinus, exponentielle, ainsi que des opérations plus exotiques.
Cependant, tous les chercheurs ne conviennent pas que Hilbert s'y intéressait. «De nombreux mathématiciens croient que Hilbert faisait référence à des fonctions algébriques et non à des fonctions continues», a déclaré Zinovy Reichstein , mathématicien à l'Université de la Colombie-Britannique. Farb et Wolfson travaillent sur un problème qu'ils pensent que Hilbert voulait étudier.
Farb a déclaré que le problème 13 était un kaléidoscope. «Vous découvrez cette chose, et plus vous étudiez, plus elle ouvre de directions et d'idées», dit-il. "Cela ouvre la porte à toute une gamme de problèmes, révèle tout le merveilleux réseau des mathématiques."
Les racines du problème
Les mathématiciens jouent avec les polynômes depuis l'invention des mathématiques elles-mêmes. Des tablettes de pierre vieilles de 3000 ans montrent comment les mathématiciens babyloniens utilisaient la formule pour résoudre des polynômes du second ordre. C'était le prédécesseur cunéiforme de la formule très quadratique qui est enseignée aujourd'hui dans les cours de mathématiques. Formule montre comment trouver les racines d'un polynôme - c'est-à-dire les valeurs x auxquelles l'expression ax 2+ bx + c, un polynôme de degré deux, devient nulle.
Au fil du temps, les mathématiciens se sont naturellement intéressés à la question de savoir s'il existe des formules aussi claires et claires pour les polynômes d'ordre supérieur. «L'histoire millénaire de ce problème est d'arriver à quelque chose d'aussi puissant, simple et efficace», a déclaré Wolfson.
Plus le degré du polynôme est élevé, plus ils deviennent encombrants. Dans le livre de 1545 Ars Magna [Grand Art], le polymathe italien Gerolamo Cardano apublié des formules pour trouver les racines des polynômes des troisième et quatrième degrés.
Les racines du polynôme cubique ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 peuvent être trouvées en utilisant la formule suivante: La
formule du polynôme du quatrième degré semble encore pire.
«À mesure que le degré augmente, la complexité augmente et la montagne de complexité se profile», a déclaré Kurt McMullen de Harvard. "Comment pouvons-nous conquérir cette montagne?"
Le mathématicien italien Paolo Ruffini en 1799 a soutenu que les polynômes de 5e et plus grands degrés ne peuvent pas être résolus en utilisant des opérations arithmétiques et l'extraction des racines. En 1824, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel l'a prouvé. ... En d'autres termes, il n'existe pas de telle formule pour un polynôme du cinquième degré. Heureusement, d'autres idées ont émergé qui suggèrent des moyens d'étudier les polynômes de degrés plus élevés qui peuvent être simplifiés par substitution. Par exemple, en 1786, l'avocat suédois Erland Bring a montré que toute équation de la forme ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 peut être réécrite comme px 5 + qx + 1 = 0, où p et q - nombres complexes dont la valeur est déterminée par a, b, c, d, e et f. Ce fait a ouvert de nouvelles approches aux propriétés cachées des polynômes.
Au 19e siècle, William Rowan Hamiltoncontinué le travail de Bring et d'autres. Entre autres choses, il a montré que pour trouver les racines d'un polynôme du sixième degré, il suffit des opérations arithmétiques habituelles, des racines carrées et cubiques, et d'une formule algébrique ne dépendant que de deux variables.
En 1975, l'algèbre américain Richard Brower de Harvard a introduit l'idée de «degré résolvant», qui décrit le nombre minimum de termes requis pour décrire un polynôme d'un certain degré. Moins d'un an plus tard, Arnold et le théoricien japonais des nombres Goro Shimura, dans un autre article, ont présenté à peu près la même définition.
Dans le modèle de Brouwer, la première tentative de systématisation des règles pour de telles substitutions, le 13e problème de Hilbert est de savoir s'il est possible pour les polynômes du septième degré d'avoir un degré résolvant inférieur à 3. Plus tard, il a avancé des conjectures similaires sur les polynômes de sixième huitième degrés.
Cependant, toutes ces questions reposent sur une question plus générale: quel est le plus petit nombre de paramètres requis pour trouver les racines d'un polynôme? Quelle est la limite inférieure que vous pouvez atteindre?
Pensée visuelle
Une approche naturelle de cette question consiste à imaginer à quoi ressemblent les polynômes. Le polynôme peut être écrit comme une fonction - par exemple, f (x) = x 2 −3x + 1, - et le tracer. Ensuite, la recherche de racines se réduit au fait que la fonction devient égale à zéro là où sa courbe coupe l'axe des x.
Plus le degré du polynôme est élevé, plus son graphe est complexe. Les fonctions du troisième ordre à trois variables produisent des surfaces lisses mais torsadées en trois dimensions. En sachant où regarder sur ces surfaces, les mathématiciens peuvent en apprendre beaucoup sur la structure polynomiale sous-jacente.
En conséquence, les tentatives de compréhension des polynômes impliquent de nombreuses techniques de la géométrie algébrique et de la topologie - des branches des mathématiques qui se concentrent sur ce qui arrive aux formes lorsqu'elles se déforment, rétrécissent, s'étirent ou changent autrement sans discontinuité. «Henri Poincaré a essentiellement inventé la topologie et a clairement dit qu'il l'avait fait pour comprendre les fonctions algébriques», a déclaré Farb. "À l'époque, les gens avaient du mal à étudier ces liens fondamentaux."
Hilbert lui-même a révélé une connexion particulièrement intéressante en appliquant la géométrie à ce problème. Au moment où il a dressé sa liste de problèmes en 1900, les mathématiciens avaient déjà beaucoup d'astuces pour abaisser les degrés des polynômes, mais ils ne pouvaient toujours pas aller plus loin. Cependant, en 1927, Hilbert a décrit une nouvelle astuce. Il a commencé par identifier tous les moyens possibles de simplifier les polynômes du neuvième degré et a trouvé parmi eux une famille de surfaces cubiques spéciales.
Hilbert savait déjà que sur chaque surface cubique lisse - une figure complexe décrite par un polynôme du troisième degré - il y a exactement 27 lignes, peu importe à quel point elles ont l'air tordues. Ces lignes droites se déplacent à mesure que les coefficients des polynômes changent. Il s'est rendu compte qu'en connaissant la position de l'un d'eux, il peut simplifier le polynôme du neuvième degré et trouver ses racines. La formule ne nécessitait que quatre paramètres - en termes modernes, cela signifiait que le degré de résolvant ne dépassait pas 4.
"L'incroyable perspicacité de Hilbert était que ce miracle de la géométrie, provenant d'un monde complètement différent, pouvait être utilisé pour la résolvante à 4 ", a déclaré Farb.
Vers un réseau de connexions
Lorsque Kissin aida Farb et Wolfson à comprendre le problème, ils se rendirent compte que l'opinion généralement acceptée selon laquelle le 13e problème de Hilbert était résolu avait tué tout intérêt pour l'approche géométrique du degré de résolvant. En janvier 2020, Wolfson a publié un article qui a revitalisé cette approche. Elle a étendu l'inversion géométrique de Hilbert des polynômes du neuvième degré à une théorie plus générale.
Hilbert s'est concentré sur les surfaces cubiques pour trouver des solutions aux polynômes du neuvième degré contenant une seule variable. Mais qu'en est-il des polynômes de degré supérieur? Pour résoudre ce problème de la même manière, pensa Wolfson, on pourrait remplacer la surface cubique par une sorte d '«hypersurface» d'ordre supérieur formée par ces polynômes d'ordre supérieur dans de nombreuses variables. La géométrie de ces surfaces n'est pas bien comprise, mais au cours des dernières décennies, les mathématiciens ont prouvé que dans certains cas, vous pouvez toujours trouver des lignes droites dessus.
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L'idée de Hilbert d'utiliser des lignes droites sur une surface cubique peut être développée en lignes droites sur ces "hypersurfaces" de degrés plus élevés. Wolfson a utilisé cette méthode pour trouver de nouvelles formules plus simples pour les polynômes de certains degrés. Il s'avère que même si vous ne parvenez pas à imaginer un polynôme du 100e degré, vous pouvez trouver ses racines en trouvant «simplement» un plan sur une hypersurface cubique multidimensionnelle (dans ce cas, il aura 47 dimensions).
En utilisant cette nouvelle méthode, Wolfson a confirmé la valeur du degré résolvant trouvé par Hilbert pour les polynômes du neuvième degré. Et pour les polynômes de certains autres degrés - en particulier les degrés supérieurs à 9 - sa méthode réduit la gamme des valeurs possibles du degré de la résolvante.
Ce n'est donc pas une attaque directe sur le 13ème problème de Hilbert, mais une approche des polynômes en général. «Ils ont trouvé des questions connexes et ont pu faire des progrès sur eux, espérant que cela éclairerait la question initiale», a déclaré McMullen. Et leurs travaux indiquent de nouvelles façons de travailler avec ces constructions mathématiques.
La théorie générale du degré de la résolvante montre également que les conjectures de Hilbert concernant les équations des sixième, septième et huitième ordres sont équivalentes à d'autres problèmes connus dans des domaines apparemment sans rapport avec les mathématiques. Le degré de résolvant, selon Farb, offre un moyen d'organiser ces problèmes en termes de complexité algébrique, plutôt que de les regrouper en classes de complexité.
Et bien que la théorie provienne du 13e problème de Hilbert, les mathématiciens ne sont pas sûrs qu'elle puisse résoudre la question ouverte sur les polynômes du septième degré. Il touche à des échelles mathématiques gigantesques et inexplorées dans des dimensions inimaginables, mais à des valeurs plus petites des degrés, il rencontre des obstacles insurmontables et est incapable de déterminer les degrés de la résolvante pour eux.
Pour McMullen, le manque de progrès - malgré des indices de progrès - est intéressant en soi. Il en découle que le problème contient des secrets que les mathématiques modernes sont tout simplement incapables de saisir. «Nous n'avons pas été en mesure de nous attaquer à ce problème fondamental - cela signifie que nous n'avons pénétré dans aucune zone sombre», a-t-il déclaré.
«Il faudra des idées complètement nouvelles pour le résoudre», a déclaré Reichstein, qui a développé sa propre idée pour simplifier les polynômes, un concept qu'il appelle «dimension de base». "Il est impossible de prédire d'où ils viendront."
Mais la trinité n'abandonne pas. «Je ne vais pas abandonner», a déclaré Farb. «Cette tâche est définitivement devenue ma baleine blanche . Elle me fait ne pas m'arrêter dans ce réseau de connexions et les mathématiques qui l'entourent. "