🧕 ♂️ 🤾🏾 Théorème de Proth 👨🏾‍⚕️ 🕞 🆖

Histoire

François Prot (1852-1879) était un agriculteur autodidacte qui vivait dans le village français de Vaudevan-Damloux près de Verdun. Le théorème considéré ici est l'un des quatre résultats qu'il a obtenus qui peuvent être utilisés pour tester la simplicité des nombres. Il a été publié dans la revue scientifique française Comptes rendus de l'Académie des Sciences (Fig.1) en 1878. Protus avait probablement des preuves de ses résultats, mais il ne les a pas présentées.

Définition

– . , , , . , , – .

– $k \ cdot2 ^ n + 1$ , – . , k <2 ^ n , . , 448 , $7 \ cdot2 ^ 6 + 1$ , 2 ^ 6> 7 .

: 3, 5, 9,13,17, 25, 33… - A080075.

, , : 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113… - A080076.

$10223 \ cdot2 ^ {31172165} +1$ , 9,383,761 . , , 2 ^ n-1 . 31 2016 Seventeen or Bust $k \ cdot2 ^ n + 1$ .

, . , ( $n \ cdot2 ^ n + 1$ ) k = n , ( $2 ^ {2 ^ n} +1$ ) – k = 1 .

– , , une :

$a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$

. une , $x ^ 2 \ equiv a ~ (\ text {mod} ~ m)$ . , , une .

, , . , .

m> 2 – . une , , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

, – Onze , : $2 ^ 5 = 32 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ . – Onze $3 ^ 5 = 243 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ .

. , . , .

– n-1 , $q> \ sqrt {n} -1$ . une , $a ^ {n-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ $a ^ {(n-1) / q} -1$ , – .

. n = 7 . , . n-1 , . , . q = 3 . $3> \ sqrt {7} -1 \ environ 1,65$ . une , . a = 2 , $2 ^ {6} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 7)$ $2 ^ {(7-1) / 3} -1 = 3$ . , .

, une . , , k> 1 . : $q ^ k> \ sqrt {n} -1$ .

, n = 17 . n-1 = 16 q = 2 . , $2> \ sqrt {17} -1 \ approx3,12$ . q = 2 k = 4 . : $2 ^ 4> \ sqrt {17} -1 \ approx3,12$ . , , , , : n = 17 – .

. , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

– . une $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ . .

, , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

$a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ une .

n = p = 2 ^ k + 1 . q = 2 n-1 .

, :

$a ^ {n-1} = \ gauche (a ^ {(n-1) / 2} \ droite) ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ –
$a ^ {(n-1) / q} -1$ –

$2 ^ k> \ sqrt {n} -1$ . n = p . .

. , , . , , , . .

, . une , $a \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . $b = a ^ {(n-1) / 2}$ .

$b \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , – .
$b \ not \ equiv \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $b ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , , – , ( $b \ pm1, N$ ) .
$b ^ 2 \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . – .
$b \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . .

, . , 1/2 .

, . , une . , 1,2, ..., N-1 (N-1) / 2 . une , 1/2 . , – .

. N = 17 . une . , a = 2 , b = 256 . . , $256 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . . , une .

a = 3 . b = 6561 $6561 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . , , N = 17 .

, – , une , . , . «» . .

N = 9 , . une . b = 16 . N = 9 . , $16 \ equiv7 \ neq \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ 9)$ . . , N = 9 .

-. , . , « », « ». , , . .

2008 , , $O ((k \ log k + \ log N) (\ log N) ^ 2)$ . "Proth.exe", .

N = r ^ et + 1 , – , – , $e, t \ geq1$ . r ^ e> t . , $a ^ {N-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $a ^ {(N-1) / r} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ une , – .

. , N = 17 . $N = 17 = 2 ^ 4 \ cdot1 + 1$ . r = 2, ~ e = 4, ~ t = 1 . , . une . a = 3 . :

$3 ^ {16} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –
$3 ^ {8} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –

, , N = 17 .

Bien sûr, le théorème généralisé de Proth est applicable pour un grand nombre de groupes de nombres, mais la sélection des variables nécessaires prend trop de temps. Par conséquent, en pratique, le théorème classique est utilisé beaucoup plus souvent.

Théorème de Proth

Histoire

Définition

More articles: