Supposons que nous ayons une chaîne de longueur l et de masse M, suspendue par une extrémité, comme le montre la figure. Ici, nous supposerons que la chaîne est homogène et que les forces de frottement peuvent être négligées. Construisons un système de coordonnées de telle sorte que l'origine des coordonnées coïncide avec le point de suspension, l'axe X est dirigé vers le bas et l'axe Y, perpendiculaire à l'axe X, sera responsable de la déviation de la chaîne par rapport au verticale. En fait, il faut définir la fonction Y (x, t).
Pour trouver Y (x, t), notons les forces agissant sur une petite section de la chaîne comme le montre la figure suivante.
On peut voir sur la figure que la force de traction T est tangente à la chaîne. Par conséquent, la tangente de l'angle T à l'axe X sera égale à la dérivée dY (X) / dX. On sait que si les fluctuations sont faibles, la tangente est approximativement égale à l'angle lui-même en radians. La force de traction T peut être calculée en utilisant la formule
où l est la longueur de la chaîne, g est l'accélération due à la gravité et la
masse par unité de longueur de la chaîne.
Écrivons l'équation à partir de la deuxième loi de Newton
Sur le côté droit de l'équation, substituons la valeur de la tension T sans le coefficient correspondant
Remplacez la valeur de la dérivée au point x + dx par la deuxième dérivée
Développer les parenthèses
et annuler les termes correspondants, en supprimant également le terme du second ordre de petitesse.
Remplacez la formule résultante par l'équation du mouvement et
réduisez-la de dx et de la gravité spécifique.
Notez que cette équation ne dépend pas de la gravité spécifique, par conséquent, toutes les cordes et chaînes de longueur égale vibreront de la même manière, quelle que soit la masse. Afin de résoudre cette équation, nous chercherons une solution sous la forme En la
substituant à l'équation du mouvement, nous obtenons En la
divisant par g et la fonction elle-même, nous obtenons qu'une partie ne dépend que du temps, et l'autre uniquement de X. Par conséquent, ils peuvent être assimilés à une certaine constante.
Considérons d'abord la partie qui ne dépend que de X
Pour résoudre cette équation, nous faisons le changement de variable
Ensuite, la première dérivée prend la forme suivante
et la deuxième dérivée de celle-ci
et l'équation peut être réécrite sous la forme
facile à voir que cette équation peut être réécrite sous la forme
Puisqu'il n'est pas clair quel genre d'équation, essayez de l'amener à une équation différentielle connue.
Pour ce faire, nous effectuons le changement
Dans ce cas, la première dérivée prendra la forme suivante
et l'équation elle-même est comme ceci
Déplacer n au carré de sous la dérivée
et l'annuler
Faites la différenciation et obtenez l'équation suivante
Nous choisissons n de telle sorte qu'il n'y ait pas de variable libre à la dérivée la plus élevée.
Nous
obtenons l' équation suivante Multiplier par 4 et z au carré et nous obtenons
Ceci est déjà similaire à l'équation de Bessel bien connue, il suffit d'obtenir débarrasser du facteur de la fonction elle-même. Pour ce faire, on fait une autre transformation de la variable
Dans ce cas, la première dérivée deviendra égale
et la deuxième dérivée En se
substituant à l'équation, on obtient
Si on prend
alors on obtient l'équation de Bessel d'ordre zéro
La solution d'une telle équation a la forme
où A et B sont des constantes, et J et Y sont des fonctions de Bessel d'ordre zéro. En remplaçant la variable z en arrière, nous obtenons
Après avoir substitué la variable u, nous avons la solution suivante
et, enfin, revenant à la variable x, nous
utilisons le fait que notre fonction doit être finie au point x = l. Puisque la fonction Y (x) est infinie à zéro, B doit être égal à zéro et notre solution aura la forme suivante
Nous allons maintenant utiliser la condition qu'au point de suspension la valeur de notre fonction doit être égale à zéro, c'est-à-dire y (0 ) = 0.
Il en découle que
où j sont les zéros de la fonction de Bessel d'ordre zéro. De là, vous pouvez déterminer la valeur du
lambda. En remplaçant le labda, nous obtenons
Ce qui après la réduction donne ses propres fonctions.
Donnons des graphes pour les cinq premiers.
Revenons maintenant à cette partie de l'équation initiale, qui est responsable de la dépendance au temps. Connaissant les valeurs lambda, vous pouvez calculer les fréquences naturelles
En extrayant la racine, nous obtenons les
périodes correspondantes seront égales
Comparez cette expression avec la période d'oscillations d'un pendule mathématique.
Ceci conclut notre étude des oscillations d'une chaîne librement suspendue. Merci de votre attention.