🍆 ⛈️ 👆🏾 Une nouvelle classe de nombres premiers que j'ai découverte par accident 🍰 ⛹️ 🗝️

Bonjour à tous! C'est mon premier post sur Habré, donc je vais me présenter: je m'appelle Kostya, je suis un développeur C ++, un peu musicien, un ingénieur ML débutant et un amoureux des mathématiques. Comme vous pouvez le deviner, cet article portera sur mon passe-temps en mathématiques.

UPD: Des conclusions ont été ajoutées. Un peu plus tard, j'ajouterai des exemples d'autres nombres premiers et d'autres systèmes de nombres qui seront utilisés pour générer des nombres cycliques, et par conséquent, des nombres premiers cycliques.

Contexte: il y a environ 14 ans, j'ai rencontré le phénomène des nombres cycliques, j'étais fasciné par les motifs qui s'y formaient et je me suis promis de les expliquer. Au début, j'ai fait des tentatives d'analyse naïves, qui ont apporté des résultats très médiocres, mais en 2016 j'ai pu constater par moi-même que la fraction rationnelle 1/7 peut être représentée par une progression géométrique convergente. Pour être honnête, à ce moment-là, je n'ai même pas compris qu'il s'agissait d'une progression géométrique, mais je l'ai reconnue visuellement. En 2018, j'ai décidé de mettre toutes mes compétences et ma diligence pour trouver le plus de modèles de nombres cycliques possible. J'en ai trouvé beaucoup, mais maintenant je veux partager ce que je considère comme le plus important, et ironiquement, j'ai trouvé par accident: une nouvelle classe de nombres premiers.

Je recherchais des nombres premiers et des nombres premiers à répétition complète et, pour être plus précis, de tels systèmes de nombres pour les nombres premiers, dans lesquels 1 / P, où P est un nombre premier, donnera une fraction périodique dont la période sera égale à le nombre cyclique.

Ici, vous devriez probablement donner la définition même d'un nombre cyclique:

Un nombre cyclique est un entier dont les permutations cycliques sont le produit de ce nombre et des nombres consécutifs.

— 142857, "" + . , . , , , . , " . ".

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

, 142857 2 6, 142857. .

, 1/7 . 1/7, . .

1/7 . ! , , - , .

, , , 7 . - .

, full reptend prime, «The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

200 , . « », 1/7 .

«History of the Theory of Numbers» , full reptend prime.

«The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» repunit.

«The Book of Numbers» , .

, , , , . .

, 142857, 1428571, . . , 1428571 1, — 7.

, 142857, ( 10 ). , .

7 , 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.


2	34
4	41
7	104
5	273
5	304
1	355
7	440
7	571
1	823
7	2215
5	2523
4	4379
2	4510
4	7553
4	7679
7	9536

23 , 10¹⁰⁰⁰.

. Full reptend prime

, , , , .

full reptend prime long prime. . , , full reptend .

full reptend

P — , , 1/P, N , P-1, , P N full reptend.

P full reptend N, P-1 .

P, , . P, - , P - full reptend prime.

P = 7 . 1/P = 0,(142857). 6, P-1. 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

, . . , . , . - 1/P. full reptend.

P 1/P. P. P = 2 2, P = 3 3, ..

( ⁿ) mod P = 1

P :

, , full reptend, 7, 17, 19, 23, 29. 2 5 , .

P = 3 : 1/3 = 0,(3). P = 11 , 2 : 1/11 = 0,(09).

P = 13 , 6, P-1. (P-1)/2, , . P 2nd reptend level prime. 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

P = 13, P-1/P, , 1/13 2/13, .

3/13 = 0,(230769) — 1

4/13 = 0,(307692) — 1

5/13 = 0,(384615) — 2

6/13 = 0,(461538) — 2

7/13 = 0,(538461) — 2

8/13 = 0,(615384) — 2

9/13 = 0,(692307) — 1

10/13 = 0,(769230) — 1

11/13 = 0,(846153) — 2

12/13 = 0,(923076) — 1

2nd reptend level prime : .

.. : 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

: 1538461.

, , full reptend prime, . P = 7 2 , full reptend, 3 5 — .

7 . 12, . , 17 19, 59 61.

, full reptend n-th repntend level . P N .

1/P:

$\ begin {equation} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {s * r ^ n} {base ^ {length (n + 1)}} = \ frac {1} {P} \ end { équation}$

s — , 1/P:

$\ begin {équation} s = [\ frac {1} {P} * base ^ {longueur}] \ end {équation}$

full reptend prime , 1 . :)

length , s, . length .

r , 1/P. 1/P P-1, full reptend , P-1.

, , , . P= 7, .. full reptend .

: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. . base mod P. , :

$\ begin {équation} \ begin {cases} r_0 = 1 \\ r_n = r_ {n-1} * (base \ mod P) \\ \ end {cases} \ end {équation}$

$\ begin {équation} r_ {longueur} = base ^ {longueur} \ mod P \ end {équation}$

, : P— ; base — ; length — , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {P} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {[\ frac {1} {P} * base ^ {longueur}] * (base ^ { longueur} \ mod P) ^ n} {base ^ {longueur (n + 1)}} \ end {équation}$

P = 7 c s, :

$\ begin {equation} \ frac {1} {7} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 3 ^ n} {10 ^ {n + 1}} \ end {équation}$

s = 1, 0,(142857), .. length = 1. r = 3, , length = 1.

$\ begin {équation} \ frac {1} {7} = 0,1 + 0,03 + 0,009 + 0,0027 + 0,00081 + .. \ end {équation}$

3 10. :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}$

2 100. s = 14, 0,(142857), .. length = 2. r = 2, , length = 2. , , , .

length 1:

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}$

, s :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}$

s - , . . .

, , , s P N — .

P = 17:

$\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {58 * 14 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { équation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {588 * 4 ^ n} {10 ^ {4 (n + 1)}} \ end { équation}$

89 . 1/89 = 0,0112359.. — , . , :

$\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 11 ^ n} {10 ^ {2 (n + 1)}} \ end { équation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n)} {10 ^ {n + 1}} \ end {équation}$

, — 109.

1/89 : (-1)ⁿ⁺¹. , , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {9 * 17 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { équation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n) * (- 1) ^ {n + 1}} {10 ^ {n +1}} \ end {équation}$

, , .

-

s , , .

, P = 7, 142857, 1428571. , , 1/P, 1/P .. P-1/P. , , 71428571.

, . , . , , , , , .

, s, , , , . - .

P = 7. 1/P, P-1/P, , s : 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

, - .

- P N. , full reptend prime .

,

, . P N, . , P, , .

- :

, P, , . , 142857. 40 5SMYBH ( 5, 28, 22, 34, 11, 17).

, , H5SMYBH 40 , , : 70217142857.

, . , , , .

P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

40 :

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

P=7 N=10 :

1) H5SMYBH

2) - 77 , 5SMYBH, B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

1) 70217142857

– 12 , 123 .

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

- , .

,

P = 7 N = 10. :

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

i — . i = 0 , full reptend prime. .

, , .

N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 , N = 10.

N = 24, N = 12.

, , N.

, 40 , . , , - , 40, , 40 .

12 24 . , , , 12.

, , , full reptend.

, , , 40 10 .

P = 5, . P = 17 , , base, base*2, base*4, .

, , .

, , . . .

, , . . : , , , , .

#1: 40 . 1/7₄₀=0.(5SMYBH)₄₀, H5SMYBH₄₀, 70217142857. 7142857, 40 .

#2: 10 . 571428571428571. 40 1D8TJS2CYBH5SMYB₄₀. , YBH5SMYB , .

,

, . . , .

, . , .

, full reptend prime .

. , , github. .

, full reptend prime. .

, , , .

, 2019 , \ .

, , arxiv.org – . , . – :

, arxiv ? ? 6- , .

Merci à tous pour votre attention! J'espère que mon premier article n'a pas été fatiguant, il y en a encore quelques-uns à venir et tous ne seront pas sur les mathématiques.

Une nouvelle classe de nombres premiers que j'ai découverte par accident

. Full reptend prime

full reptend

-

,

,

,

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