La réaction à l' ouvrage «Formule pour résoudre une équation de degré 4» publié le 12 janvier 2021 sur Habré , a indiqué que l'article n'était pas bien structuré méthodiquement. Les formules ne pouvaient pas se défendre.
Je vais essayer de régler la situation.
Donc, l'équation est de 4 degrés.
Tout d'abord sur la méthode Ferrari.
La méthode Ferrari est remarquable en ce qu'elle capture l'essence de l'équation du 4ème degré. L'isolement des carrés parfaits conduit à l'apparition d'une résolution cubique. En conséquence, l'équation peut être représentée comme un produit de deux polynômes carrés.
Pour une équation de 5 et 6 degrés, la technique associée à la sélection de carrés ou cubes complets se termine très rapidement en rien. Il me semble que c'est précisément cette circonstance qui a en fait donné lieu à la thèse sur l'impossibilité de résoudre des équations en radicaux au-dessus du 4e degré.
Équation de résolution:
le produit de deux polynômes carrés obtenus par la méthode Ferrari.
Coefficients de l'expression sur le côté droit de l'identité.
Ensuite, nous substituons l'expression de F ^ 3 à partir de la résolvante et obtenons le polynôme original de degré 4.
La seule chose à noter est que la résolvante n'apparaît que lors du calcul de l'interception.
Les racines d'une même équation doivent être identiques quelle que soit la méthode obtenue.
En pratique, en fonction de la méthode utilisée, on obtient des racines dont, dans leur représentation symbolique, il est difficile de dire si elles sont identiques ou non. Pourquoi ne pas avoir une autre méthode de résolution, qui dans certains cas donne des représentations symboliques plus simples des racines. Cette possibilité est importante lors du choix des valeurs des paramètres des racines et de la conjugaison des racines de plusieurs équations.
Différences entre la méthode ftvmetrics et la méthode Ferrari:
- autres équations auxiliaires (résolvantes);
- les équations auxiliaires "fonctionnent" non pas sur le terme libre, mais sur les coefficients aux premier et deuxième degrés;
- il est possible de calculer deux racines de l'équation du 4e degré à partir d'une équation cubique, présentée sous forme canonique.
Première solution.
Il a été donné dans l'article cité au début.
Équation auxiliaire
Le produit des polynômes quadratiques, qui est identique à l'équation du 4e degré après remplacement répété R ^ 3
Au lieu de résoudre chacun des polynômes quadratiques indiqués ci-dessus, dans la méthode ftvmetrics, vous pouvez trouver les racines de l'équation cubique, dont
deux seront les racines de l'équation du 4e degré.
Dans ce cas, il devient possible d'exprimer les racines en termes d'exponentielles ou de fonctions trigonométriques.
Vous pouvez vous assurer que l'équation alternative est correcte en calculant les sous-résultats et en vérifiant les deux premières valeurs.
Les expressions résultantes des sous-résultats sont "brutales", mais quand vous savez ce que vous recherchez, tout n'est pas si triste.
Deuxième solution.
L'équation auxiliaire
a une forme canonique.
Le produit des polynômes quadratiques, identique à l'équation de degré 4 après remplacement répété R ^ 3. L'
exactitude de l'équation alternative est également vérifiée par des sous-résultats.Dans
la seconde solution, les équations auxiliaires et alternatives ont une représentation canonique.
C'est curieux d'obtenir quelque chose de nouveau après 400 ans.
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