"Notre philosophie générale [Irving Kaplansky et Paul Halmos] sur l'algèbre linéaire est la suivante : nous pensons en termes sans fondement, écrivons en termes sans fondement, mais lorsqu'il s'agit d'affaires sérieuses, nous nous enfermons au bureau et faisons de notre mieux avec les matrices."
Irving Kaplansky
.
, .
x, y ∈ ℝⁿ xᵀy
:
, . ,
.
x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ ( ) xyᵀ ∈ ℝᵐˣⁿ. , : (xyᵀ)ᵢⱼ = xᵢyⱼ,
A ∈ ℝⁿˣⁿ, tr(A) ( trA), :
:
A ∈ ℝⁿˣⁿ: trA = trAᵀ.
A,B ∈ ℝⁿˣⁿ: tr(A + B) = trA + trB.
A ∈ ℝⁿˣⁿ t ∈ ℝ: tr(tA) = t trA.
A,B, , AB : trAB = trBA.
A,B,C, , ABC : trABC = trBCA = trCAB ( — ).
∥x∥ x «» . , , l₂:
, ‖x‖₂²=xᵀx.
: f : ℝn → ℝ, :
x ∈ ℝⁿ: f(x) ≥ 0 ().
f(x) = 0 , x = 0 ( ).
x ∈ ℝⁿ t ∈ ℝ: f(tx) = |t|f(x) ().
x, y ∈ ℝⁿ: f(x + y) ≤ f(x) + f(y) ( )
l₁
l∞
lp, p ≥ 1
, :
{x₁, x₂, ..., xₙ} ⊂ ℝₘ , . - , . ,
α₁,…, αₙ-₁ ∈ ℝ, , x₁, ..., xₙ
; . ,
, x₃ = −2xₙ + x₂.
A ∈ ℝᵐˣⁿ , . , , — A. , .
( ), A ∈ ℝᵐˣⁿ , A rank(A) rk(A); rang(A), rg(A) r(A). :
A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) ≤ min(m,n). rank(A) = min(m,n), A .
A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) = rank(Aᵀ).
A ∈ ℝᵐˣⁿ, B ∈ ℝn×p: rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)).
A,B ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
x, y ∈ ℝⁿ , xᵀy = 0. x ∈ ℝⁿ , ||x||₂ = 1.
U ∈ ℝⁿˣⁿ , ( ). , .
,
, , . , U (U ∈ ℝᵐˣⁿ, n < m), , UᵀU = I, UUᵀ ≠ I. , , .
, ,
x ∈ ℝⁿ U ∈ ℝⁿˣⁿ.
-
{x₁, x₂, ..., xₙ} , {x₁, ..., xₙ},
R(A) ( ) A ∈ ℝᵐˣⁿ . ,
-, A ∈ ℝᵐˣⁿ ( N(A) ker A), , A ,
A ∈ ℝⁿˣⁿ x ∈ ℝⁿ xᵀ Ax. :
,
A ∈ 𝕊ⁿ , x ∈ ℝⁿ xᵀAx > 0.
( A > 0),
.
A ∈ 𝕊ⁿ , xᵀ Ax ≥ 0.
( A ≥ 0),
.
A ∈ 𝕊ⁿ
, x ∈ ℝⁿ xᵀAx < 0.
, A ∈ 𝕊ⁿ (
), x ∈ ℝⁿ xᵀAx ≤ 0.
, A ∈ 𝕊ⁿ , , , x₁, x₂ ∈ ℝⁿ ,
.
A ∈ ℝⁿˣⁿ λ ∈ ℂ x ∈ ℂⁿ ,
, A x , λ. , x ∈ ℂⁿ ∈ ℂ A(cx) = cAx = cλx = λ(cx). , cx . , , λ, 1 ( , x, –x, ).
" Data Science". , , , .