Depuis des milliers d'années, les mathématiciens s'intéressent à la question de l'existence des nombres parfaits impairs. Au cours de son étude, ils ont compilé une liste incroyable de restrictions pour ces objets hypothétiques. Mais de nouvelles idées sur ce point peuvent apparaître du fait de l'étude d'autres objets proches d'eux.
Si des nombres parfaits impairs existent, ils devront satisfaire une liste absurdement longue de contraintes.En
tant qu'élève du secondaire, Pace Nielsen a été confronté à une question de mathématiques au milieu des années 90 avec laquelle il se débat encore à ce jour. Mais il n'est pas bouleversé: le problème qui l'a fasciné, l'hypothèse des nombres parfaits impairs, est resté ouvert pendant plus de 2000 ans, ce qui en fait l'un des plus anciens problèmes non résolus en mathématiques.
Une partie de ce charme durable vient de la simplicité du libellé. Un nombre est appelé parfait s'il s'agit d'un entier positif, n, dont les diviseurs totalisent le double du nombre, 2n. Le premier exemple et le plus simple est 6, dont les diviseurs 1, 2, 3 et 6 s'additionnent à 12, ou 2 * 6. Vient ensuite 28, avec les diviseurs 1, 2, 4, 7, 14 et 28 pour un total de 56. Les exemples suivants sont 496 et 8128.
Leonard Euler a formalisé cette définition au 18ème siècle en introduisant sa fonction sigma, qui est la somme des diviseurs d'un nombre. Ainsi, pour les nombres parfaits, σ (n) = 2n.
Leonard Euler a formulé de nombreuses règles formelles concernant le travail avec des nombres parfaits.Cependant
, Pythagore connaissait les nombres parfaits dès 500 avant JC et deux siècles plus tard, Euclide a dérivé une formule pour obtenir des nombres même parfaits. Il a montré que si p et 2 p - 1 sont des nombres premiers (dont les diviseurs ne sont que 1 et ce nombre lui-même), alors 2 p - 1 * (2 p - 1) sera un nombre parfait. Par exemple, si p = 2, alors la formule donne 2 1 * (2 2 - 1), ou 6. Si p = 3, alors la formule donne 2 2 * (23 - 1), ou 28 - les deux premiers nombres parfaits. 2000 ans plus tard, Euler a prouvé que cette formule donne tous les nombres même parfaits, bien qu'on ne sache toujours pas si l'ensemble des nombres parfaits est fini ou infini.
Nielsen, maintenant professeur à l'Université Brigham Young, s'est laissé emporter par une question connexe: existe-t-il des nombres parfaits impairs? Mathématicien grec Nicomachus de Gerasa vers 100 après JC a déclaré que tous les nombres parfaits doivent être pairs, mais personne n'a prouvé cette affirmation.
Comme beaucoup de ses collègues du 21e siècle, Nielsen pense qu'il n'y a pas beaucoup de nombres parfaits. Et, avec eux, il estime que la preuve de cette hypothèse ne sera pas obtenue de sitôt. Cependant, en juin, il est tombé surà une nouvelle approche de cette tâche, éventuellement capable de la pousser plus loin. Et il est associé à l'objet le plus proche des nombres parfaits impairs de tous ceux découverts jusqu'à présent.
Rétrécissement du Web
Nielsen a d'abord appris les nombres parfaits lors d'un concours de mathématiques à l'école. Il s'est plongé plus profondément dans la littérature et est tombé sur le travail de 1974 de Karl Pomeranz , un mathématicien actuellement en service au Dartmouth College. Il a prouvé que tout nombre parfait impair doit avoir au moins sept facteurs premiers différents.
«Dans ma naïveté, j'ai décidé que je pouvais faire quelque chose dans ce domaine, si des progrès étaient possibles», a déclaré Nielsen. "Cela m'a inspiré à étudier la théorie des nombres à l'université et à essayer de progresser." Son premier travail sur les nombres parfaits impairs, publié en 2003, a imposé des contraintes supplémentaires sur ces nombres hypothétiques. Il a montréque non seulement le nombre de nombres parfaits impairs avec k diviseurs premiers différents est fini, comme Leonard Dixon l'a prouvé en 1913, mais aussi que la taille de ce nombre ne doit pas dépasser 2 4 k .
Et ce n'était ni la première ni la dernière limitation imposée aux nombres parfaits hypothétiques impairs. Par exemple, en 1888, James Sylvester a prouvé qu'un nombre parfait impair ne peut pas être divisible par 105. En 1960, Carl K. Norton a prouvé que si un nombre parfait impair n'est pas divisible par 3, 5 ou 7, il doit avoir au moins 27 facteurs premiers. Paul Jenkins en 2003 a prouvéQue le plus grand diviseur premier du nombre parfait impair doit être supérieur à 10 000 000. Pascal ochem et Mihaol Rao ont alors trouvé que le nombre parfait impair devait être supérieur à 10 1500 , puis ont poussé la limite à 10 2000 . Nielsen a montré en 2015 qu'un nombre parfait impair doit avoir au moins 10 facteurs premiers différents.
Pace Nielsen, mathématicien à l'Université Brigham Young
Même au 19e siècle, le nombre de restrictions était tel que Sylvester a conclu que "l'émergence d'un nombre parfait impair - une sorte d'échappatoire au réseau complexe de conditions qui l'entourent de tous côtés - serait presque un miracle". Après plus de cent ans de développements similaires, l'existence de tels chiffres soulève encore plus de doutes.
«Prouver l'existence de quelque chose est facile si vous ne trouvez qu'un seul exemple», a déclaré Jon Voight , professeur de mathématiques à Dartmouth. "Mais prouver que quelque chose n'existe pas peut être très difficile."
La principale approche jusqu'à présent a été de comparer toutes les conditions qui limitent les nombres parfaits impairs afin de savoir si une paire d'entre eux est incompatible - c'est-à-dire qu'aucun nombre ne peut satisfaire les deux contraintes à la fois. «Le patchwork de conditions que nous avons obtenu à ce jour rend les nombres parfaits impairs extrêmement improbables», a déclaré Voight, faisant écho à Sylvester. "Et Pace ajoute de nouveaux éléments à cette liste depuis de nombreuses années."
Malheureusement, aucune propriété incompatible n'a encore été trouvée. Par conséquent, en plus des restrictions supplémentaires sur les nombres parfaits impairs, les mathématiciens auront probablement besoin de nouvelles stratégies.
À cette fin, Nielsen envisage déjà un nouveau plan d'attaque basé sur une tactique commune des mathématiciens: l'étude de nombreux nombres à travers l'étude de leurs proches. En l'absence de nombres parfaits impairs adaptés à une étude directe, lui et l'équipe étudient les "imitations" de nombres parfaits impairs, qui sont très similaires aux nombres réels, mais présentent des différences intéressantes.
Comprendre les nombres parfaits
- . σ(n) = 2n, .
:
σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .
σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .
1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .
2. σ(pa) = 1 + p + p2 + … + pa p a.
:
σ(20) = σ(22 × 5) = σ(22) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 22)(1+5) [ ] = 42
σ (28) = σ (2 2 × 7) = σ (2 2 ) × σ (7) [par la première règle] = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 7) [par la deuxième règle] = 56
Nouveaux miss séduisants
La première imitation d'un nombre parfait impair a été trouvée en 1638 par René Descartes - et il a été l'un des premiers mathématiciens remarquables à considérer l'existence de nombres parfaits impairs possible. «Je crois que Descartes essayait de trouver des nombres parfaits impairs, et ses calculs l'ont conduit à la première imitation», a déclaré William Banks , théoricien des nombres à l'Université du Missouri. Apparemment, Descartes espérait que le nombre qu'il avait créé pourrait être changé pour obtenir un vrai nombre parfait impair.
Mais avant de plonger dans l'imitation cartésienne, il est utile de comprendre un peu comment les mathématiciens décrivent des nombres parfaits. Le théorème du temps d'Euclide stipule que tout entier supérieur à 1 peut être exprimé comme un produit de nombres premiers élevés à certaines puissances. Par exemple, 1260 peut être factorisé comme ceci: 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 , et ne pas lister les 36 facteurs séparément.
Une fois qu'un nombre prend cette forme, il devient beaucoup plus facile de calculer la fonction sigma d'Euler qui additionne ses diviseurs, grâce à deux formules qu'Euler a également prouvées. Premièrement, il a démontré que σ (a × b) = σ (a) × σ (b) si et seulement si a et b sont premiers, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de diviseurs premiers communs. Par exemple, les nombres 14 (2 × 7) et 15 (3 × 5) sont relativement premiers. Deuxièmement, il a montré que pour tout nombre premier p dans un degré entier positif a, σ (p a ) = 1 + p + p 2 +… + p a .
Pour revenir à notre exemple précédent, σ (1260) = σ (2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 ) = σ (2 2 ) × σ (3 2) × σ (5 1 ) × σ (7 1 ) = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5) (1 + 7) = 4 368. Notez que dans ce cas σ (n) n'est pas égal à 2n, ce qui signifie que 1260 n'est pas un nombre parfait.
René Descartes a trouvé la première imitation d'un nombre parfait
Nous pouvons maintenant analyser l'imitation cartésienne - le nombre 198 585 576 189, soit 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22021 1 . En répétant les calculs ci-dessus, nous constatons que σ (198 585 576 189) = σ (3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22,021 1 ) = (1 + 3 + 32 ) (1 + 7 + 7 2 ) (1 + 11 + 11 2 ) (1 + 13 + 13 2 ) (1 + 22,021 1 ) = 397 171 152 378. Et c'est égal à deux fois le nombre d'origine, ce qui signifie qu'il doit être un nombre vraiment parfait - seul le nombre 22.021 n'est pas premier.
Par conséquent, ce nombre de Descartes est une imitation. Si nous prétendons que 22 021 est premier et appliquons les règles d'Euler à la fonction sigma, le nombre de Descartes se comporte comme un nombre parfait. Cependant, 22 021 est en fait le produit de 19 2 et 61. Si nous pouvions écrire correctement le nombre de Descartes sous la forme 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 19 2 × 61 1, alors σ (n) ne serait pas égal à 2n. En assouplissant certaines règles, nous obtenons un nombre qui semble satisfaire nos exigences - c'est l'essence même de l'imitation.
Il a fallu 361 ans pour découvrir le deuxième nombre d'imitation d'un nombre parfait impair. Voight a fait cela en 1999 et a publié la découverte quatre ans plus tard. Pourquoi si longtemps? «Trouver un nombre imité, c'est comme trouver un nombre parfait impair; les deux sont également complexes sur le plan arithmétique », a déclaré Banks. Et leur recherche n'était pas une priorité pour les mathématiciens. Cependant, Voight s'est inspiré d'un extrait de Unsolved Problems in Number Theory de Richard Guy, où il a écrit sur la recherche de nouvelles imitations. Voight a essayé et a finalement trouvé une nouvelle imitation, 3 4 × 7 2 × 11 2 × 19 2× (−127) 1 , ou −22 017 975 903.
Contrairement à l'exemple de Descartes, ici tous les diviseurs sont premiers, mais l'un d'eux est négatif - donc ce nombre est une imitation, pas un vrai nombre parfait impair.
Simuler des nombres parfaits impairs
:
198 585 576 189, 32 × 72 × 112 × 132 × 22 0211.
-: σ(198 585 576 189) = σ(32 × 72 × 112 × 132 × 22,0211) = (1 + 3 + 32)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 13 + 132)(1 + 22,0211) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.
22 021 , 192 × 61. .
:
−22 017 975 903, 34 × 72 × 112 × 192 × (−127)1.
-: σ(−22 017 975 903) = σ(34 × 74 × 112 × 192 × (-127)1) = (1 + 3 + 32 + 33 + 34)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 19 + 192)(1 + (-127)1) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903
-127 – , – .
Après que Voight a organisé un séminaire à l'Université Brigham Young en décembre 2016, il a discuté de ce nombre avec Nielsen, Jenkins et d'autres. Peu de temps après, l'équipe universitaire s'est lancée dans une recherche informatique systématique d'autres imitations. Ils choisissaient les plus petites bases et exposants, comme 3 2 , puis les ordinateurs peignaient des variantes de bases et d'exposants supplémentaires qui simuleraient un nombre parfait. Nielsen a décidé que ce projet serait simplement une expérience de recherche stimulante pour ses étudiants, mais les résultats de l'analyse ont dépassé ses attentes.
Passer au crible les possibilités
Après avoir exécuté 20 processeurs en continu pendant trois ans, l'équipe a découvert toutes les imitations possibles d'un nombre parfait qui pouvait être écrit en utilisant six bases ou moins - 21 au total, y compris des exemples de Descartes et Voight - et deux autres simulations avec sept diviseurs. La recherche de simulations avec un grand nombre de diviseurs sur des ordinateurs n'était pas pratique et prenait trop de temps. Néanmoins, le groupe a rassemblé suffisamment d'exemples pour découvrir des propriétés jusqu'alors inconnues des imitations.
Le groupe a constaté que pour tout nombre donné de bases k, il existe un nombre fini de simulations, qui coïncide avec le résultat de Dixon en 1913 pour les vrais nombres parfaits impairs. "Cependant, si k va à l'infini, le nombre d'imitations devient également infini", a déclaré Nielsen. C'était inattendu, a-t-il ajouté, étant donné qu'au début de ce projet, il n'était pas sûr de découvrir ne serait-ce qu'une nouvelle imitation étrange, encore moins de montrer que leur nombre est infini.
Autre surprise issue d'un résultat d'abord prouvé par Euler: toutes les bases premières d'un nombre parfait impair, sauf une, doivent avoir des degrés pairs. Il faut avoir un degré impair - c'est ce qu'on appelle le degré d'Euler. La plupart des mathématiciens croient que le degré d'Euler pour les nombres parfaits impairs est toujours de 1, mais l'équipe a montré que les simulations peuvent être aussi grandes qu'elles le souhaitent.
L'équipe a trouvé certains des résultats en affaiblissant les exigences dans la définition de l'imitation, car il n'y a pas de règles mathématiques claires pour les décrire - seulement qu'elles doivent satisfaire l'égalité σ (n) = 2n. Les chercheurs ont permis l'existence de bases non premières (comme dans l'exemple de Descartes) et négatives (comme dans l'exemple de Voight). Cependant, ils sont allés plus loin en permettant aux imitations d'avoir plusieurs bases identiques. Une base, par exemple, peut être 7 2 et l'autre 7 3 , et elles sont écrites séparément, et non sous la forme 7 5 . Ou ils laissent les raisons se répéter, comme dans l'imitation 3 2 × 7 2 × 7 2 × 13 1 × (−19) 2... Le terme 7 2 × 7 2 peut s'écrire 7 4 , mais la simulation échouera, car le développement des parenthèses dans la fonction sigma modifiée serait différent.
Étant donné la différence significative entre les imitations et les nombres parfaits impairs réels, on pourrait se poser la question: comment les premiers aident-ils à trouver les seconds?
La voie à suivre?
Nielsen a dit que les imitations sont des généralisations de nombres parfaits impairs. Les nombres parfaits impairs sont un sous-ensemble au sein d'une plus grande famille, qui comprend des imitations, donc les nombres parfaits impairs doivent avoir toutes les propriétés des imitations, ainsi que des restrictions supplémentaires, encore plus strictes (comme, par exemple, la condition selon laquelle tous les motifs doivent être simples) ...
«Tout comportement du plus grand ensemble doit être suivi pour le plus petit sous-ensemble», a déclaré Nielsen. "Donc, si nous trouvons un comportement d'imitation qui ne s'applique pas à une classe plus limitée, nous pouvons automatiquement écarter la possibilité de nombres parfaits impairs." Si, par exemple, on peut montrer que toutes les simulations sont divisibles par 105 - ce qui est impossible pour les nombres parfaits impairs, comme l'a montré Sylvester en 1888 - alors le problème sera résolu.
Jusqu'à présent, cependant, ils n'ont pas réussi. "Nous avons découvert de nouveaux faits sur les imitations, mais aucun d'entre eux ne nie l'existence de nombres parfaits impairs", a déclaré Nielsen, "bien que cette possibilité demeure." En analysant plus avant les imitations actuellement connues, et éventuellement en complétant leur liste à l'avenir, Nielsen (et ces deux directions se développent grâce à lui) et d'autres mathématiciens peuvent découvrir de nouvelles propriétés des imitations.
Les banques trouvent cette approche intéressante. «Explorer des imitations impaires peut être utile pour comprendre la structure des nombres parfaits impairs, le cas échéant», a-t-il déclaré. "Et s'il n'y a pas de nombres parfaits impairs, l'étude d'imitations impaires peut en apporter la preuve."
D'autres experts sur les nombres parfaits impairs ne sont pas aussi optimistes. L'équipe de l'Université Brigham Young «a fait un excellent travail», a déclaré Voight, «mais je ne suis pas sûr que nous soyons sur le point d'attaquer le problème des nombres parfaits impairs. C'est vraiment une tâche pour les âges, et il est probable qu'elle le restera. "
Paul Pollack , mathématicien à l'Université de Géorgie, est également prudent: «Ce serait cool si nous pouvions regarder la liste des simulations et voir certaines de leurs propriétés, et en quelque sorte prouver que les nombres parfaits impairs avec cette propriété n'existent pas. Ce ne serait qu'un rêve, mais cela semble trop beau pour être vrai. "
Nielsen a convenu qu'il y avait peu de chances de succès, mais pour résoudre ce problème ancien, les mathématiciens doivent tout essayer. De plus, l'étude des imitations ne fait que commencer. Son groupe a fait quelques pas et a déjà découvert des propriétés inattendues de ces nombres. Par conséquent, il est optimiste quant à la possibilité de découvrir des "structures cachées" supplémentaires dans les imitations.
Nielsen a déjà identifié une tactique plausible basée sur le fait que toutes les imitations trouvées à ce jour, autres que l'exemple original de Descartes, ont au moins une base négative. Si nous prouvons que toutes les autres imitations doivent avoir une base négative, cela prouve que les nombres parfaits impairs n'existent pas, puisque, par définition, leurs bases doivent être simples et positives.
«Cela semble être une tâche plus difficile», a déclaré Nielsen, car elle touche à une catégorie de chiffres plus large et plus générale. "Mais parfois, lorsque vous transformez un problème en un problème apparemment plus difficile, vous pouvez voir le chemin vers la solution."
En théorie des nombres, il faut de la patience - parfois la question est facile à poser mais difficile à répondre. «Il faut réfléchir à la tâche, parfois pendant longtemps, et y prêter une attention particulière», a déclaré Nielsen. - Nous avançons. Nous creusons une mine. Nous espérons que si nous creusons suffisamment longtemps, nous pourrons trouver un diamant. "