🧑🏿‍🤝‍🧑🏿 🤵 🧓🏽 Options mathématiques ou modèle Black-Scholes 🚭 🕚 🎄

L'intérêt général du modèle Black-Scholes (ci-après BS) tient au fait qu'à un moment donné ses auteurs ont révolutionné le domaine de l'évaluation de la juste valeur des options et autres instruments financiers dérivés. Plus tard, ils ont reçu le prix Nobel pour leurs découvertes et la formule analytique qu'ils ont dérivée est peut-être devenue la plus fondamentale et la plus connue dans le monde de la finance.

Le modèle BS n'est pas moins intéressant du point de vue de l'analyse mathématique et probabiliste-théorique de bas niveau. L'article examine en détail le processus de justification des principes de base et clés du modèle BS, et en déduit également une formule analytique qui est utilisée pour évaluer la juste valeur des options.

Concepts de base

Option - un contrat par lequel l'acheteur d'une option reçoit le droit , mais pas l'obligation, d'acheter ou de vendre un actif donné à un prix prédéterminé, appelé prix d'exercice ou de levée.

Aux fins d'une analyse plus approfondie, un tel instrument financier est le plus précisément représenté comme une fonction qui décrit les paiements d'options au moment de l'expiration du contrat. Pour une compréhension plus simple et plus intuitive, nous considérerons une option de type Call, dont la fonction de paiement est la suivante.

où est le prix de l'actif sous-jacent, le prix de la grève.

D'un point de vue pratique, la fonction suppose que l'acheteur de l'option bénéficiera si le prix de l'actif sous-jacent dépasse le prix d'exercice x_s et qui coïncide avec la différence [x-x_s] . Dans le cas contraire, le titulaire de l'option recevra une perte égale à la prime payée pour l'achat du contrat d'option.

, . , . , , ( ).

, C = max (x - x_s; 0) , , , , .

, , , . , .

, C = max (x - x_s; 0) x (t) . , x (t) , : $dx = xrdt + x \ sigma \ delta W$ *. , .

$dC = \ left (\ frac {\ partial C} {\ partial t} + xr \ frac {\ partial C} {\ partial x} + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial x ^ 2} \ right) dt + x \ sigma \ frac {\ partial C} {\ partial x} \ delta W \ qquad (1)$

, . (une) , . - .

$\ Pi = \ frac {\ C partiel} {\ partiel x} \ cdot x - C (x, t) \ qquad (2)$

, $\ Delta = \ frac {\ partial C} {\ partial x}$ - .

, , $\ Delta = const$ - : $d \ Pi = \ Delta \ cdot dx - dC$ . , , *, (une) . :

$d \ Pi = \ Delta (xrdt + x \ sigma \ delta W) - \ left [\ left (\ frac {\ partial C} {\ partial t} + xr \ frac {\ partial C} {\ partial x} + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} \ frac {\ partial ^ 2 C} {\ partial x ^ 2} \ right) dt + x \ sigma \ frac {\ partial C} {\ partial x} \ delta W \ droit] \ qquad (3)$

, $\ Delta = \ frac {\ partial C} {\ partial x}$ , $x \ sigma \ frac {\ partial C} {\ partial x} \ delta W$ :

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

, . $\tau$ , $\tau = T-t$ , . , , $\tau$ , . , : $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

B,S - : $d \Pi = \Pi rdt$ , . (4) , $\Pi$ (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

, :

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

, . , , , .

. $y = \ln x$ . x^2 , .

, , x^2 , :

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

$R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

, $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

, $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

$R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

, . : $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , $\alpha$ $\beta$ , , :

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$

$Ue^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

$\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

$e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

$\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , :

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

(7) :

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

$(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ (7) .

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

$\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

(7) e^* . :

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

, u(s) :

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

$\tau$ , (7) , - . , (7) :

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

(9) u(s) . , u(y) = U(y;0) . - , $\tau \mapsto 0$ - $\delta (y-s)$ :

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

: f(x) [a;b] , g(x) , $c \in[a,b]$ , :

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\varepsilon > 0$ .

$\tau \mapsto 0$ "" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ :

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

$d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ ,

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . , $\varepsilon >0$ , $\tau \mapsto 0$ , $d \mapsto y$ . :

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

, $\max (e^y -x_s;0)=0$ $y < \ln x_s$ , (9) :

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

(10) $U(y;\tau)$ , , $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . , $U(y, \tau)$ $C(e^y, \tau)$ .

(10) .

, -:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

, , $\sigma -$ .

, :

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - }$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

, .

, , , , $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , .

, $-\infty$ , . , . :

$\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ gamma} ^ {+ \ infty} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2}} dz = F (- \ gamma) \ qquad (*)$

, , . , , , . :

, $d_1 = - \ gauche (\ gamma - \ sigma \ sqrt {\ tau} (1- \ alpha) \ droite)$ , $d_2 = - \ gauche (\ gamma + \ alpha \ sigma \ sqrt {\ tau} \ droite)$ , *.

, , . , :

$\ gamma = \ frac {\ ln x_s - y} {\ sigma \ sqrt {\ tau}}; \ qquad \ alpha = - \ frac {R} {\ sigma ^ 2}; \ qquad R = r - \ frac {\ sigma ^ 2} {2}; \ qquad y = \ ln x.$

$d_1 = \ frac {\ ln (xe ^ {r \ tau} / x_s)} {\ sigma \ sqrt {\ tau}} + \ frac {\ sigma \ sqrt {\ tau}} {2}; \ qquad d_2 = \ frac {\ ln (xe ^ {r \ tau} / x_s)} {\ sigma \ sqrt {\ tau}} - \ frac {\ sigma \ sqrt {\ tau}} {2}.$

, . $C (e ^ y, \ tau)$ , , $C (e ^ y, \ tau) = e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot U (y, \ tau)$ , , ** $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau}$ .

. , $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot e ^ {y (1- \ alpha) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ tau (1- \ alpha) ^ 2}$ , $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot e ^ {{\ alpha y + a ^ 2 \ sigma ^ 2 \ tau / 2}}$ $e ^ {- r \ tau}$ . , :

.. " ", 2009 . — 376 .
.. . 2, . 1985 . — 560 .
Wentzel E.S. L.A. Ovcharov Théorie des probabilités et ses applications en ingénierie. - M., ACADEMA, 2003 .-- 480 p.
Zhulenev S.V. "Mathématiques financières. Introduction à la théorie classique. Partie 2.", 2012 - 419 p.
Shiryaev A.N. "Fondements des mathématiques financières stochastiques. Volume 1. Faits. Modèles", 1998 - 512 p.

Options mathématiques ou modèle Black-Scholes

Concepts de base

More articles: